Номер 33, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны $2$ см и $1$ см, а образующая равна $2$ см, описана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса: $r_1 = 2$ см.

Радиус меньшего основания усеченного конуса: $r_2 = 1$ см.

Образующая усеченного конуса: $l = 2$ см.

Перевод в СИ:
$r_1 = 0.02$ м.
$r_2 = 0.01$ м.
$l = 0.02$ м.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Чтобы найти радиус описанной сферы $R$, рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и сферы. Сечением сферы является большой круг радиуса $R$. Сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция, вписанная в этот круг.

Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса: $a = 2r_1 = 2 \cdot 2 = 4$ см и $b = 2r_2 = 2 \cdot 1 = 2$ см. Боковая сторона трапеции равна образующей конуса $l=2$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна боковой стороне $l$, один катет — высота трапеции $h$, а другой катет — разность радиусов оснований: $r_1 - r_2$.

По теореме Пифагора:

$h^2 + (r_1 - r_2)^2 = l^2$

$h^2 + (2 - 1)^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h = \sqrt{3}$ см.

Радиус сферы $R$ является радиусом окружности, описанной около нашей равнобокой трапеции. Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя любыми вершинами трапеции.

Рассмотрим треугольник, образованный большим основанием трапеции, одной из ее боковых сторон и диагональю. Пусть стороны этого треугольника — это большее основание $a=4$ см, боковая сторона $l=2$ см и диагональ трапеции $d$.

Найдем длину диагонали $d$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h$, диагональю $d$ (гипотенуза) и частью большего основания. Длина этой части основания равна $a$ минус отрезок, равный $r_1 - r_2$, то есть $2r_1 - (r_1 - r_2) = r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$ см.

По теореме Пифагора для этого треугольника:

$d^2 = h^2 + (r_1 + r_2)^2$

$d^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12$

$d = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь у нас есть треугольник со сторонами $4$ см, $2$ см и $2\sqrt{3}$ см, вписанный в окружность радиуса $R$. Найдем радиус $R$ описанной около него окружности по формуле:

$R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь нашего треугольника (с основанием $a=4$ и высотой $h=\sqrt{3}$):

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.

Подставляем все известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{4 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = 2$ см.

Интересно отметить, что так как $R = r_1 = 2$ см, центр описанной сферы лежит в плоскости большего основания усеченного конуса.

Ответ: радиус описанной сферы равен 2 см.