Номер 80, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

80. От четырехугольной пирамиды, объем которой равен $12 \text{ см}^3$, отсечены четыре треугольные пирамиды плоскостями, проходящими через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Найдите объем оставшейся части пирамиды.

Дано:

Объем исходной четырехугольной пирамиды $V_{пир} = 12 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем оставшейся части пирамиды $V_{ост}$.

Решение:

Пусть дана четырехугольная пирамида $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — четырехугольник в основании. Высота пирамиды равна $h$.

Объем исходной пирамиды вычисляется по формуле:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h$, где $S_{ABCD}$ — площадь основания.

По условию, от пирамиды отсекают четыре треугольные пирамиды. Каждая отсекающая плоскость проходит через вершину пирамиды $S$ и середины двух смежных сторон основания.

Рассмотрим один из углов основания, например, угол $B$. Смежные стороны, образующие этот угол, — $AB$ и $BC$. Пусть $K$ и $L$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Одна из отсеченных пирамид — это пирамида $S-BKL$ с вершиной $S$ и основанием — треугольником $BKL$. Высота этой пирамиды совпадает с высотой исходной пирамиды и равна $h$.

Всего отсекается четыре такие пирамиды по одной у каждой вершины основания $A, B, C, D$.

Найдем суммарный объем отсеченных частей. Для этого сначала найдем суммарную площадь оснований этих малых пирамид.

Площадь треугольника $BKL$ можно выразить через площадь треугольника $ABC$ (образованного диагональю $AC$):

$S_{BKL} = \frac{1}{2} BK \cdot BL \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{2}BC) \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)\right) = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Аналогично, для треугольника у вершины $D$ (пусть $M$ и $N$ — середины $CD$ и $DA$ соответственно) его площадь равна:

$S_{DMN} = \frac{1}{4} S_{ADC}$.

Сумма площадей этих двух треугольников:

$S_{BKL} + S_{DMN} = \frac{1}{4} S_{ABC} + \frac{1}{4} S_{ADC} = \frac{1}{4} (S_{ABC} + S_{ADC}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Точно так же, рассмотрев два других угла ($A$ и $C$) и диагональ $BD$, получим, что сумма площадей треугольников у вершин $A$ и $C$ также равна $\frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Таким образом, общая площадь оснований всех четырех отсеченных пирамид ($S_{отсеч.осн.}$) равна:

$S_{отсеч.осн.} = (\frac{1}{4} S_{ABCD}) + (\frac{1}{4} S_{ABCD}) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Суммарный объем всех четырех отсеченных пирамид ($V_{отсеч}$) равен:

$V_{отсеч} = \frac{1}{3} S_{отсеч.осн.} \cdot h = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} S_{ABCD}\right) \cdot h = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h\right)$.

Так как $\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = V_{пир}$, то:

$V_{отсеч} = \frac{1}{2} V_{пир}$.

Оставшаяся часть пирамиды — это центральная пирамида, объем которой равен разности объемов исходной пирамиды и суммы объемов отсеченных пирамид:

$V_{ост} = V_{пир} - V_{отсеч} = V_{пир} - \frac{1}{2} V_{пир} = \frac{1}{2} V_{пир}$.

Подставим известное значение объема исходной пирамиды:

$V_{ост} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см}^3 = 6 \text{ см}^3$.

Ответ: 6 см³.