Номер 84, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

84. Через каждое ребро единичного куба, перпендикулярно плоскости, проходящей через это ребро и центр куба, проведена плоскость. Найдите объем многогранника, ограниченного этими плоскостями.

Дано:

Единичный куб, длина ребра $a = 1$.

Найти:

Объем многогранника, ограниченного заданными плоскостями, $V$.

Решение:

Расположим единичный куб в системе координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат $O(0,0,0)$, а его грани были параллельны координатным плоскостям. В этом случае вершины куба будут иметь координаты $(\pm 1/2, \pm 1/2, \pm 1/2)$. Длина ребра куба $a=1$.

Рассмотрим одно из 12 ребер куба. Пусть это ребро, соединяющее вершины $A(1/2, -1/2, -1/2)$ и $B(1/2, 1/2, -1/2)$. Это ребро параллельно оси $Oy$.

Найдем уравнение плоскости $\Pi_1$, проходящей через это ребро и центр куба $O(0,0,0)$. Нормальный вектор $\vec{n}_1$ к этой плоскости перпендикулярен вектору ребра $\vec{AB} = (0, 1, 0)$ и вектору, соединяющему начало координат с любой точкой ребра, например, с его серединой $M(1/2, 0, -1/2)$. Вектор $\vec{OM} = (1/2, 0, -1/2)$.

Найдем $\vec{n}_1$ как векторное произведение:

$\vec{n}_1 = \vec{AB} \times \vec{OM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1/2 - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 1/2) = (-1/2, 0, -1/2)$.

В качестве нормального вектора можно взять коллинеарный ему вектор $(1, 0, 1)$. Уравнение плоскости $\Pi_1$ имеет вид $x+z=D$. Так как плоскость проходит через начало координат, $D=0$. Итак, уравнение плоскости $\Pi_1$: $x+z=0$.

Теперь найдем уравнение плоскости $\Pi_2$, которая, согласно условию, проходит через то же ребро $AB$ и перпендикулярна плоскости $\Pi_1$. Нормальный вектор $\vec{n}_2$ плоскости $\Pi_2$ должен быть перпендикулярен вектору ребра $\vec{AB}=(0,1,0)$ и нормальному вектору плоскости $\Pi_1$, т.е. $\vec{n}_1=(1,0,1)$.

Найдем $\vec{n}_2$ как их векторное произведение:

$\vec{n}_2 = \vec{AB} \times \vec{n}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 1) = (1, 0, -1)$.

Уравнение плоскости $\Pi_2$ имеет вид $x-z=C$. Чтобы найти $C$, подставим координаты любой точки ребра, например $A(1/2, -1/2, -1/2)$:

$1/2 - (-1/2) = C \Rightarrow C = 1$.

Таким образом, для выбранного ребра искомая плоскость задается уравнением $x-z=1$.

В кубе 12 ребер. Проводя аналогичные рассуждения для каждого ребра, мы получим 12 плоскостей. В силу симметрии куба, уравнения этих плоскостей будут иметь вид:

$x \pm y = \pm 1$ (4 плоскости для ребер, параллельных оси $Oz$)

$x \pm z = \pm 1$ (4 плоскости для ребер, параллельных оси $Oy$)

$y \pm z = \pm 1$ (4 плоскости для ребер, параллельных оси $Ox$)

Эти 12 плоскостей ограничивают многогранник, который является ромбододекаэдром. Для нахождения его объема представим его как комбинацию тел. Исходный единичный куб с вершинами $(\pm 1/2, \pm 1/2, \pm 1/2)$ целиком лежит внутри этого многогранника. Его объем равен $V_{куба} = a^3 = 1^3 = 1$.

Многогранник можно представить как исходный куб, на каждой из шести граней которого построена пирамида. Рассмотрим пирамиду, построенную на грани куба $x=1/2$.

Основанием этой пирамиды является грань куба — квадрат со стороной $a=1$ и площадью $S_{осн} = a^2 = 1$. Вершиной этой пирамиды является вершина ромбододекаэдра $(1,0,0)$, которая является точкой пересечения плоскостей $x+y=1, x-y=1, x+z=1$ и $x-z=1$. Высота пирамиды $h$ — это расстояние от ее вершины $(1,0,0)$ до плоскости основания $x=1/2$.

$h = 1 - 1/2 = 1/2$.

Объем одной такой пирамиды равен:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Так как у куба 6 граней, то всего таких пирамид 6. Их суммарный объем:

$V_{пирамид} = 6 \cdot V_{пир} = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1$.

Искомый объем многогранника $V$ равен сумме объема исходного куба и объемов шести пирамид:

$V = V_{куба} + V_{пирамид} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.