Номер 91, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

91. Во сколько раз объем цилиндра, вписанного в правильную четырехугольную призму, больше объема цилиндра, описанного около этой же призмы?

Дано:

Правильная четырехугольная призма.

$V_{впис}$ — объем цилиндра, вписанного в призму.

$V_{опис}$ — объем цилиндра, описанного около призмы.

Найти:

Отношение $\frac{V_{впис}}{V_{опис}}$, чтобы ответить на вопрос "во сколько раз объем вписанного цилиндра больше объема описанного".

Решение:

Пусть сторона основания правильной четырехугольной призмы равна $a$, а ее высота — $h$. Так как призма правильная, ее основанием является квадрат со стороной $a$.

Высота как вписанного, так и описанного цилиндра будет равна высоте призмы $h$.

Найдем объем вписанного цилиндра ($V_{впис}$). Его основание — это круг, вписанный в квадратное основание призмы. Радиус такого круга $r_{впис}$ равен половине стороны квадрата:

$r_{впис} = \frac{a}{2}$

Объем вписанного цилиндра ($V_{впис}$) равен:

$V_{впис} = \pi r_{впис}^2 h = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h = \frac{\pi a^2 h}{4}$

Теперь найдем объем описанного цилиндра ($V_{опис}$). Его основание — это круг, описанный около квадратного основания призмы. Диаметр этого круга равен диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется как $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, радиус описанного круга $r_{опис}$ равен половине диагонали:

$r_{опис} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Объем описанного цилиндра ($V_{опис}$) равен:

$V_{опис} = \pi r_{опис}^2 h = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 h = \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} h = \frac{\pi a^2 h}{2}$

Для ответа на вопрос задачи найдем отношение объема вписанного цилиндра к объему описанного цилиндра:

$\frac{V_{впис}}{V_{опис}} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{4}}{\frac{\pi a^2 h}{2}}$

Сократим общие множители $\pi$, $a^2$ и $h$:

$\frac{V_{впис}}{V_{опис}} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$

Вопрос в задаче "во сколько раз объем вписанного цилиндра больше объема описанного" предполагает нахождение отношения $\frac{V_{впис}}{V_{опис}}$. Полученное значение $0,5$ показывает, что объем вписанного цилиндра на самом деле меньше объема описанного. Тем не менее, это является формально правильным ответом на поставленный вопрос.

Ответ: в 0,5 раза.