Номер 92, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

92. В правильную шестиугольную призму со стороной основания 1 см и боковым ребром 6 см вписан цилиндр. Найдите объем этого цилиндра.

Дано:

Призма - правильная шестиугольная.
Сторона основания призмы, $a = 1$ см.
Боковое ребро призмы, $H = 6$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$H = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем вписанного цилиндра, $V_{цил}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V_{цил} = S_{осн} \cdot h_{цил}$, где $S_{осн}$ - площадь основания цилиндра, а $h_{цил}$ - его высота.

Поскольку цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму, его высота равна высоте призмы, а его основание (окружность) вписано в основание призмы (правильный шестиугольник).

1. Найдем высоту цилиндра. Высота цилиндра равна боковому ребру призмы: $h_{цил} = H = 6$ см.

2. Найдем радиус основания цилиндра. Радиус основания цилиндра, $r_{цил}$, равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$. Этот радиус также является апофемой шестиугольника. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности находится по формуле: $r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ Подставим значение стороны основания призмы $a = 1$ см: $r_{цил} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Найдем площадь основания цилиндра. Площадь основания цилиндра (круга) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r_{цил}^2$ Подставим найденное значение радиуса: $S_{осн} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см².

4. Найдем объем цилиндра. Теперь можем вычислить объем цилиндра, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема: $V_{цил} = S_{осн} \cdot h_{цил} = \frac{3\pi}{4} \cdot 6 = \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi$ см³.

Ответ: объем этого цилиндра равен $4.5\pi$ см³.