Номер 86, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

86. Через каждую вершину тетраэдра, объем которого равен $1 \text{ см}^3$, параллельно противолежащей грани проведена плоскость. Найдите объем многогранника, ограниченного этими плоскостями.

Дано:

Объем исходного тетраэдра $V_{T} = 1 \text{ см}^3$.

Перевод в систему СИ:

$V_{T} = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

$V_{P}$ - объем многогранника, ограниченного построенными плоскостями.

Решение:

Пусть исходный тетраэдр обозначается как $T$ с вершинами $A, B, C, D$. Его объем $V_T = 1 \text{ см}^3$.

Через каждую вершину тетраэдра ($A, B, C, D$) проводится плоскость, параллельная противолежащей грани. Обозначим эти плоскости соответственно $\pi_A, \pi_B, \pi_C, \pi_D$. Например, $\pi_A$ – это плоскость, проходящая через вершину $A$ параллельно грани $BCD$.

Эти четыре плоскости ограничивают в пространстве новый многогранник $P$. Так как он ограничен четырьмя плоскостями, этот многогранник также является тетраэдром. Назовем его большим тетраэдром.

Для нахождения объема $V_P$ нового тетраэдра $P$ наиболее просто воспользоваться методом гомотетии (центрального подобия).

Пусть $M$ – центроид (центр масс) исходного тетраэдра $T$. Известно, что центроид делит отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, в отношении 3:1, считая от вершины.

Рассмотрим, например, вершину $D$ и противолежащую ей грань $ABC$. Пусть $M_{ABC}$ – центроид грани $ABC$. Точки $D, M, M_{ABC}$ лежат на одной прямой, причем $M$ находится между $D$ и $M_{ABC}$. Соотношение векторов, выходящих из центра масс $M$, будет следующим: $\vec{MD} = -3 \cdot \vec{MM_{ABC}}$.

Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = -3$.

Эта гомотетия отображает точку $M_{ABC}$ в точку $D$, так как по определению гомотетии образ точки $M_{ABC}$ есть точка $M_{ABC}' = M + k \cdot (M_{ABC} - M) = M - 3 \cdot \vec{MM_{ABC}} = M + \vec{MD} = D$.

Гомотетия отображает любую плоскость в параллельную ей плоскость. Так как точка $M_{ABC}$ лежит в плоскости грани $ABC$, ее образ, точка $D$, будет лежать в образе этой плоскости. Таким образом, гомотетия $H$ отображает плоскость грани $ABC$ в параллельную ей плоскость, проходящую через точку $D$. По условию задачи, это и есть плоскость $\pi_D$.

Аналогично можно показать, что гомотетия $H(M, -3)$ отображает плоскости граней $BCD, ACD, ABD$ в плоскости $\pi_A, \pi_B, \pi_C$ соответственно.

Таким образом, большой тетраэдр $P$, ограниченный плоскостями $\pi_A, \pi_B, \pi_C, \pi_D$, является образом исходного тетраэдра $T$ при гомотетии с центром в его центроиде и коэффициентом $k = -3$.

При гомотетии с коэффициентом $k$ объем тела изменяется в $|k|^3$ раз. Следовательно, объем нового тетраэдра $V_P$ связан с объемом исходного тетраэдра $V_T$ соотношением:

$V_P = |k|^3 \cdot V_T$

Подставляя значения $k = -3$ и $V_T = 1 \text{ см}^3$, получаем:

$V_P = |-3|^3 \cdot 1 \text{ см}^3 = 3^3 \cdot 1 \text{ см}^3 = 27 \cdot 1 \text{ см}^3 = 27 \text{ см}^3$.

Ответ: $27 \text{ см}^3$.