Номер 2, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника ABC с катетами $AC = BC = 1 \text{ см}$ вокруг прямой, содержащей высоту CH этого треугольника.

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC, $\angle C = 90^\circ$.

Катет $AC = 1$ см.

Катет $BC = 1$ см.

Ось вращения - прямая, содержащая высоту CH.

Перевод всех данных в систему СИ:

$AC = 0.01$ м.

$BC = 0.01$ м.

Найти:

$V$ - объем тела вращения.

$S$ - площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника ABC вокруг высоты CH, проведенной из вершины прямого угла, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных общим основанием. Для нахождения объема и площади поверхности этого тела, необходимо определить параметры конусов: радиус основания ($r$), высоту ($h$) и образующую ($l$).

Поскольку $AC = BC = 1$ см, треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Высота CH, проведенная к гипотенузе, в равнобедренном треугольнике является также и медианой. Следовательно, точка H — середина гипотенузы AB.

Параметры конусов:

1. Образующая $l$ каждого конуса равна катету исходного треугольника: $l = AC = BC = 1$ см.

2. Радиус общего основания конусов $r$ равен половине гипотенузы: $r = AH = BH = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Высота каждого конуса $h$ равна длине высоты CH. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна ее половине: $h = CH = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов. Формула объема одного конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. $V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$V = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{12} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из площадей боковых поверхностей двух конусов (их общее основание находится внутри тела и не является частью внешней поверхности). Формула площади боковой поверхности одного конуса: $S_{бок} = \pi r l$. $S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi\sqrt{2}$ см$^2$.