Номер 5, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $e$, проходящей через середины оснований $AB$ и $CD$.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$

Боковые стороны $AD = BC = 1$ см

Основание $AB = 2$ см

Основание $CD = 1$ см

Ось вращения $c$ проходит через середины оснований $AB$ и $CD$.

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Тело, полученное в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины её оснований, представляет собой усеченный конус.

Сначала определим параметры этого усеченного конуса:

Радиус большего основания $R$ равен половине длины основания $AB$:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см

Радиус меньшего основания $r$ равен половине длины основания $CD$:

$r = \frac{CD}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см

Образующая усеченного конуса $l$ равна длине боковой стороны трапеции:

$l = 1$ см

Высота усеченного конуса $h$ равна высоте трапеции. Мы можем найти ее из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, образующей $l$ и отрезком, равным полуразности оснований трапеции $\frac{AB-CD}{2}$. По теореме Пифагора:

$h^2 + \left(\frac{AB-CD}{2}\right)^2 = l^2$

$h^2 + \left(\frac{2-1}{2}\right)^2 = 1^2$

$h^2 + (0.5)^2 = 1$

$h^2 = 1 - 0.25 = 0.75$

$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см

Теперь, имея все параметры, можем вычислить объем и площадь поверхности.

Объем

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим наши значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (1^2 + 1 \cdot 0.5 + 0.5^2) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \cdot (1 + 0.5 + 0.25) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \cdot 1.75$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной $1.75 = \frac{7}{4}$:

$V = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7\pi\sqrt{3}}{24}$ см$^3$

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности тела вращения (усеченного конуса) складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

$S = S_{бок} + S_{верхн.осн.} + S_{нижн.осн.}$

$S = \pi l(R+r) + \pi r^2 + \pi R^2$

Подставим наши значения:

$S = \pi \cdot 1 \cdot (1 + 0.5) + \pi \cdot (0.5)^2 + \pi \cdot 1^2$

$S = 1.5\pi + 0.25\pi + \pi = 2.75\pi$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной $2.75 = \frac{11}{4}$:

$S = \frac{11\pi}{4}$ см$^2$

Ответ: объем тела вращения равен $V = \frac{7\pi\sqrt{3}}{24}$ см$^3$, а площадь его поверхности $S = \frac{11\pi}{4}$ см$^2$.