Номер 9, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1$ см, $\angle C = 120^\circ$. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $AB$.

Дано:

Треугольник $ABC$ – равнобедренный

$AC = BC = 1$ см

$\angle C = 120^\circ$

Ось вращения – прямая $AB$

Перевод в СИ:

$AC = BC = 0.01$ м

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Тело, полученное в результате вращения равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг его основания $AB$, представляет собой два одинаковых конуса с общим основанием. Вершины этих конусов находятся в точках $A$ и $B$.

Для нахождения объема и площади поверхности этого тела необходимо определить параметры конусов: радиус общего основания $r$, высоту $h$ каждого конуса и образующую $l$.

Образующая $l$ каждого конуса равна боковой стороне треугольника: $l = AC = BC = 1$ см.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Радиус $r$ общего основания конусов равен длине высоты $CH$, а высота $h$ каждого конуса равна половине длины основания $AB$, то есть $h = AH = BH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Так как $CH$ является биссектрисой угла $C$, то $\angle ACH = \frac{\angle C}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Теперь можем найти $r$ и $h$ из треугольника $AHC$ с гипотенузой $AC = 1$ см:

Радиус основания конусов:

$r = CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Высота каждого конуса:

$h = AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь вычислим объем $V$ тела вращения. Он равен сумме объемов двух конусов.

$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$

$V = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см³.

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (общее основание находится внутри тела и не учитывается).

$S = 2 \cdot S_{бок. конуса} = 2 \cdot (\pi r l)$

$S = 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \pi$ см².

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см³, площадь поверхности равна $\pi$ см².