Номер 16, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В прямоугольном треугольнике ABC $AC = 3 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$, $\angle C = 90^\circ$, $CH$ — высота. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $CH$.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$

Катет $AC = 3$ см

Катет $BC = 4$ см

$\angle C = 90^\circ$

$CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$

Ось вращения — прямая $CH$

Перевод в систему СИ:

$AC = 0.03$ м

$BC = 0.04$ м

Найти:

$V$ — объем тела вращения

$S$ — площадь поверхности тела вращения

Решение:

Тело, полученное при вращении треугольника $ABC$ вокруг высоты $CH$, состоит из двух конусов с общей вершиной $C$. Высота обоих конусов совпадает с высотой треугольника $CH$. Основания конусов — это круги, которые описывают точки $A$ и $B$ при вращении.

Радиусом основания первого конуса (образованного вращением $\triangle AHC$) является отрезок $AH$, а образующей — катет $AC$.

Радиусом основания второго конуса (образованного вращением $\triangle BHC$) является отрезок $BH$, а образующей — катет $BC$.

Объем тела вращения равен сумме объемов этих двух конусов, а площадь поверхности — сумме площадей их боковых поверхностей.

1. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора в $\triangle ABC$:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем высоту $CH$. Площадь прямоугольного треугольника можно найти как $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$, а также как $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$. Приравняем эти выражения:

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH$

$12 = 5 \cdot CH$

$CH = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Таким образом, высота обоих конусов $h = CH = 2.4$ см.

3. Найдем радиусы оснований конусов $r_1=AH$ и $r_2=BH$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ по теореме Пифагора:

$r_1 = AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{3^2 - (2.4)^2} = \sqrt{9 - 5.76} = \sqrt{3.24} = 1.8$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BHC$ по теореме Пифагора:

$r_2 = BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{4^2 - (2.4)^2} = \sqrt{16 - 5.76} = \sqrt{10.24} = 3.2$ см.

Образующими конусов являются катеты исходного треугольника: $l_1 = AC = 3$ см и $l_2 = BC = 4$ см.

4. Вычисляем объем тела вращения $V$ как сумму объемов конусов. Формула объема конуса $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h + \frac{1}{3}\pi r_2^2 h = \frac{1}{3}\pi h (r_1^2 + r_2^2)$

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 2.4 \cdot (1.8^2 + 3.2^2) = 0.8\pi \cdot (3.24 + 10.24) = 0.8\pi \cdot 13.48 = 10.784\pi$ см$^3$.

5. Вычисляем площадь поверхности тела вращения $S$ как сумму площадей боковых поверхностей конусов. Формула площади боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi r l$.

$S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r_1 l_1 + \pi r_2 l_2$

$S = \pi \cdot 1.8 \cdot 3 + \pi \cdot 3.2 \cdot 4 = 5.4\pi + 12.8\pi = 18.2\pi$ см$^2$.

Ответ: объем тела вращения равен $10.784\pi$ см$^3$, а площадь его поверхности равна $18.2\pi$ см$^2$.