Номер 14, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции $\mathit{ABCD}$ с основаниями $\mathit{AB}$ и $\mathit{CD}$, равными соответственно $2\text{ см}$ и $1\text{ см}$, меньшей боковой стороной, равной $1\text{ см}$, вокруг прямой $\mathit{AB}$.

Дано:

Прямоугольная трапеция ABCD

Большее основание AB = 2 см

Меньшее основание CD = 1 см

Меньшая боковая сторона (высота) = 1 см

Ось вращения - прямая AB

Перевод в СИ:

AB = 0.02 м

CD = 0.01 м

Высота = 0.01 м

Найти:

V - объем тела вращения

S - площадь поверхности тела вращения

Решение:

Пусть в прямоугольной трапеции ABCD основаниями являются AB и CD, а меньшая боковая сторона AD является высотой. Тогда $AD \perp AB$.

При вращении данной трапеции вокруг большего основания AB образуется тело вращения, которое состоит из цилиндра и конуса, имеющих общее основание.

Для определения параметров этих фигур проведем высоту CH из точки C на основание AB. Получим прямоугольник ADCH и прямоугольный треугольник CHB.

1. Вращением прямоугольника ADCH вокруг стороны AH (которая лежит на оси вращения AB) образуется цилиндр.

2. Вращением прямоугольного треугольника CHB вокруг катета HB (который лежит на оси вращения AB) образуется конус.

Найдем размеры этих геометрических тел:

Высота трапеции равна меньшей боковой стороне, значит, $AD = CH = 1$ см.

Радиус основания цилиндра и конуса $R = AD = CH = 1$ см.

Высота цилиндра $h_{цил} = AH = CD = 1$ см.

Высота конуса $h_{кон} = HB = AB - AH = 2 - 1 = 1$ см.

Для нахождения площади поверхности конуса нам понадобится его образующая $l = CB$. Найдем ее по теореме Пифагора из треугольника CHB:

$l = CB = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ см.

1. Вычисление объема тела вращения

Общий объем $V$ равен сумме объема цилиндра $V_{цил}$ и объема конуса $V_{кон}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi R^2 h_{цил}$.

$V_{цил} = \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \pi$ см³.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi R^2 h_{кон}$.

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см³.

Суммарный объем тела вращения:

$V = V_{цил} + V_{кон} = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ см³.

2. Вычисление площади поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности тела вращения $S$ складывается из площади основания цилиндра (образуется вращением стороны AD), площади боковой поверхности цилиндра (образуется вращением стороны CD) и площади боковой поверхности конуса (образуется вращением стороны CB).

$S = S_{осн.цил} + S_{бок.цил} + S_{бок.кон}$

Площадь основания цилиндра (круга): $S_{осн.цил} = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок.цил} = 2\pi R h_{цил} = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ см².

Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок.кон} = \pi R l = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}$ см².

Суммарная площадь поверхности:

$S = \pi + 2\pi + \pi\sqrt{2} = 3\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(3 + \sqrt{2})$ см².

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{4\pi}{3}$ см³, площадь поверхности равна $\pi(3 + \sqrt{2})$ см².