Номер 11, страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного тетраэдра $ABCD$ вокруг прямой $AB$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$
Длина ребра $a = 1$ (единичный тетраэдр)
Ось вращения - прямая $AB$

Найти:

Объем тела вращения $V$
Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

При вращении тетраэдра $ABCD$ вокруг прямой, содержащей ребро $AB$, вершины $A$ и $B$ остаются неподвижными, так как они лежат на оси вращения. Вершины $C$ и $D$ вращаются вокруг оси $AB$.

Поскольку тетраэдр правильный, все его грани — равносторонние треугольники. Расстояние от вершины $C$ до прямой $AB$ равно высоте треугольника $ABC$, опущенной из $C$ на сторону $AB$. Аналогично, расстояние от $D$ до $AB$ равно высоте треугольника $ABD$. Так как треугольники $ABC$ и $ABD$ равны, эти расстояния одинаковы.

Следовательно, вершины $C$ и $D$ при вращении описывают одну и ту же окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной ребру $AB$ и проходящей через его середину.

Тело вращения представляет собой фигуру, состоящую из двух одинаковых конусов, соединенных общим основанием. Вершины этих конусов находятся в точках $A$ и $B$.

Найдем параметры этих конусов:
1. Радиус общего основания $r$ равен высоте равностороннего треугольника со стороной $a=1$.
$r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Высота $h$ каждого конуса равна половине длины ребра $AB$.
$h = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.
3. Образующая $l$ каждого конуса равна длине ребер $AC, BC, AD, BD$, то есть равна стороне тетраэдра.
$l = a = 1$.

Объем

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов. Формула объема одного конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
Общий объем тела вращения:
$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.
Общая площадь поверхности тела вращения:
$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi r l = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$.
Ответ: $\pi\sqrt{3}$.