Номер 5, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите радиус сферы, описанной около единичного тетраэдра.

Дано:

Единичный тетраэдр, то есть правильный тетраэдр с длиной ребра $a=1$.

Найти:

Радиус $R$ описанной около тетраэдра сферы.

Решение:

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$ с ребром $a=1$. Центр $O$ описанной сферы совпадает с центроидом тетраэдра и лежит на его высоте. Опустим высоту $DH$ из вершины $D$ на основание $ABC$. Точка $H$ является центром правильного треугольника $ABC$ (точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис).

Радиус описанной сферы $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой из вершин тетраэдра. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO$. В нём $OA$ — гипотенуза, $AH$ и $OH$ — катеты. По теореме Пифагора: $OA^2 = AH^2 + OH^2$.

1. Найдём длину отрезка $AH$. Так как $H$ — центр правильного треугольника $ABC$, то $AH$ — это радиус описанной около него окружности. Для правильного треугольника со стороной $a$ он вычисляется по формуле $R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. При $a=1$ получаем:$AH = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Найдём высоту тетраэдра $H_{тет} = DH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$. Его гипотенуза — ребро тетраэдра $AD = a = 1$, а один из катетов — отрезок $AH = \frac{\sqrt{3}}{3}$. По теореме Пифагора:

$DH^2 = AD^2 - AH^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Следовательно, высота тетраэдра $H_{тет} = DH = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

3. Найдём радиус $R$. Центр сферы $O$ лежит на высоте $DH$. Расстояние от него до вершины $D$ равно $R$ ($OD=R$). Расстояние от него до основания $ABC$ равно $OH = DH - OD = H_{тет} - R$.

Подставим все известные значения в исходное уравнение $OA^2 = AH^2 + OH^2$:

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (H_{тет} - R)^2$

$R^2 = \frac{1}{3} + (\frac{\sqrt{6}}{3} - R)^2$

Раскроем скобки:

$R^2 = \frac{1}{3} + (\frac{\sqrt{6}}{3})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot R + R^2$

$R^2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{9} - \frac{2\sqrt{6}}{3}R + R^2$

$R^2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2\sqrt{6}}{3}R + R^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях и упростим:

$0 = 1 - \frac{2\sqrt{6}}{3}R$

$\frac{2\sqrt{6}}{3}R = 1$

$R = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot (\sqrt{6})^2} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{6}}{4}$.