Номер 10, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Найдите радиус сферы, описанной около прямой треугольной призмы, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 см, и высотой призмы равна 2 см.

Дано:

Тип фигуры: прямая треугольная призма
Основание: прямоугольный треугольник
Катет $a = 1$ см
Катет $b = 1$ см
Высота призмы $H = 2$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м
$b = 0.01$ м
$H = 0.02$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около прямой призмы, находится на середине высоты, проходящей через центр окружности, описанной около основания призмы. Радиус $R$ такой сферы можно найти по формуле, связывающей его с радиусом $r$ окружности, описанной около основания, и высотой призмы $H$:

$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания. В основании лежит прямоугольный треугольник с катетами $a = 1$ см и $b = 1$ см. Для нахождения $r$ нам нужна гипотенуза $c$. По теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$c = \sqrt{2}$ см

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы:

$r = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см

Высота призмы по условию равна $H = 2$ см. Теперь мы можем подставить значения $r$ и $H$ в исходную формулу для нахождения радиуса сферы $R$:

$R^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{2}{2})^2$

$R^2 = \frac{2}{4} + 1^2$

$R^2 = \frac{1}{2} + 1$

$R^2 = \frac{3}{2}$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $R$:

$R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см

Ответ: радиус описанной сферы равен $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см.