Номер 12, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см.

13.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны.
Длина ребра $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. По условию, все ее ребра равны $a=1$ см. Это означает, что сторона основания $AB=BC=CD=DA=a=1$ см, и боковые ребра $SA=SB=SC=SD=a=1$ см.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, которое проходит через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $SAC$. Данный треугольник вписан в большую окружность описанной сферы, следовательно, радиус этой окружности является искомым радиусом сферы $R$.

Найдем длины сторон треугольника $SAC$:

1. Боковые стороны треугольника $SA$ и $SC$ равны боковым ребрам пирамиды: $SA = SC = a = 1$ см.

2. Основание треугольника $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.
$AC = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Итак, мы имеем треугольник $SAC$ со сторонами $SA=1$ см, $SC=1$ см и $AC=\sqrt{2}$ см.

Применим к треугольнику $SAC$ теорему, обратную теореме Пифагора, чтобы проверить, является ли он прямоугольным. Для этого сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$SA^2 + SC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Так как выполняется равенство $AC^2 = SA^2 + SC^2$, треугольник $SAC$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $S$ ($\angle ASC = 90^\circ$).

Известно, что радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины его гипотенузы. В треугольнике $SAC$ гипотенузой является сторона $AC$.

Следовательно, радиус описанной сферы $R$ равен:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.