Номер 8, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Около правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 1 см, описана сфера радиусом 2 см. Найдите высоту призмы.

Дано:

Правильная треугольная призма, вписанная в сферу. Сторона основания призмы $a = 1$ см. Радиус описанной сферы $R_{сф} = 2$ см.

Перевод в систему СИ: $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$; $R_{сф} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

Высоту призмы $H$.

Решение:

Поскольку призма правильная, ее основаниями являются равносторонние треугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Все вершины призмы лежат на поверхности описанной сферы. Центр описанной сферы $O$ для такой призмы находится на середине отрезка, соединяющего центры $O_1$ и $O_2$ окружностей, описанных около оснований призмы. Таким образом, расстояние от центра сферы до центра каждого из оснований равно половине высоты призмы, то есть $\frac{H}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный следующими отрезками:

• гипотенуза — радиус сферы $R_{сф}$, соединяющий центр сферы $O$ с любой вершиной призмы (например, $A_1$);
• первый катет — половина высоты призмы $\frac{H}{2}$, то есть расстояние от центра сферы $O$ до центра основания $O_1$;
• второй катет — радиус окружности, описанной около основания призмы, $R_{осн}$, то есть расстояние от центра основания $O_1$ до вершины $A_1$.

По теореме Пифагора для этого треугольника ($ΔOO_1A_1$) можно записать следующее соотношение:

$R_{сф}^2 = (\frac{H}{2})^2 + R_{осн}^2$

Сначала найдем радиус окружности, описанной около основания призмы. Основание — это равносторонний треугольник со стороной $a$. Формула для радиуса описанной окружности для равностороннего треугольника:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим известное значение стороны основания $a = 1$ см:

$R_{осн} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь подставим известные значения $R_{сф} = 2$ см и $R_{осн} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см в уравнение теоремы Пифагора:

$2^2 = (\frac{H}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$

$4 = \frac{H^2}{4} + \frac{1}{3}$

Выразим из уравнения член, содержащий высоту $H$:

$\frac{H^2}{4} = 4 - \frac{1}{3}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{H^2}{4} = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$

Теперь найдем квадрат высоты $H^2$:

$H^2 = 4 \cdot \frac{11}{3} = \frac{44}{3}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти высоту $H$:

$H = \sqrt{\frac{44}{3}} = \frac{\sqrt{44}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 11}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Для получения окончательного вида ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$H = \frac{2\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{33}}{3}$ см.

Ответ: $H = \frac{2\sqrt{33}}{3}$ см.