Номер 13, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра — 2 см.

Дано:

Тип фигуры: правильная шестиугольная пирамида

Сторона основания: $a = 1$ см

Боковое ребро: $l = 2$ см

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы: $R$

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус $R$ такой сферы можно найти по формуле: $R = \frac{l^2}{2H}$, где $l$ - боковое ребро пирамиды, а $H$ - ее высота.

Сначала найдем высоту пирамиды $H$. Высота $H$, боковое ребро $l$ и радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания, образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Таким образом, по теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R_{осн}^2$, откуда $H = \sqrt{l^2 - R_{осн}^2}$.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a$. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне:

$R_{осн} = a = 0.01$ м.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = \sqrt{l^2 - R_{осн}^2} = \sqrt{(0.02)^2 - (0.01)^2} = \sqrt{0.0004 - 0.0001} = \sqrt{0.0003} = \sqrt{3 \cdot 10^{-4}} = 10^{-2}\sqrt{3}$ м.

Подставим найденные значения в формулу для радиуса описанной сферы:

$R = \frac{l^2}{2H} = \frac{(0.02)^2}{2 \cdot 10^{-2}\sqrt{3}} = \frac{0.0004}{2\sqrt{3} \cdot 10^{-2}} = \frac{4 \cdot 10^{-4}}{2\sqrt{3} \cdot 10^{-2}} = \frac{2 \cdot 10^{-2}}{\sqrt{3}}$ м.

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{2 \cdot 10^{-2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 10^{-2}$ м.

Переведем ответ обратно в сантиметры, так как исходные данные были в сантиметрах:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 10^{-2} \text{ м} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.