Номер 7, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Найдите радиус сферы, описанной около правильной призмы, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная призма, все ребра которой равны $a = 1$ см.

$a = 0.01$ м

Найти:

$R$ — радиус описанной сферы.

Решение:

В условии задачи не указан тип правильной призмы, то есть не уточняется, какой правильный многоугольник лежит в ее основании. Однако условие, что все ребра равны, для правильной четырехугольной призмы означает, что данная призма является кубом. Этот случай является наиболее классическим для подобных задач, поэтому будем решать задачу для куба с ребром $a = 1$ см.

Радиус сферы, описанной около многогранника, можно найти, зная его ключевые размеры. Для прямой призмы радиус описанной сферы $R$ связан с высотой призмы $H$ и радиусом $r$ окружности, описанной около основания, по формуле:

$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

В нашем случае призма является кубом, поэтому ее высота $H$ равна длине ребра основания $a$.

$H = a = 1$ см.

Основанием куба является квадрат со стороной $a = 1$ см. Радиус $r$ окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали $d_{осн}$.

Найдем диагональ основания, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами квадрата и его диагональю:

$d_{осн} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Следовательно, радиус окружности, описанной около основания, равен:

$r = \frac{d_{осн}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь мы можем подставить найденные значения $r$ и $H$ в формулу для радиуса описанной сферы:

$R^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$R = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Альтернативный способ:

Радиус сферы, описанной около куба, равен половине его пространственной диагонали $d$. Пространственная диагональ куба с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

При $a = 1$ см, пространственная диагональ равна $d = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Радиус описанной сферы $R$ равен половине этой диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: радиус описанной сферы равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ см.