Номер 15, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Ребро $SC$ пирамиды $SABC$ равно 2 см и перпендикулярно плоскости основания $ABC$, угол $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = BC = 1$ см. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Дано:

Пирамида $SABC$

$SC \perp (ABC)$

$SC = 2 \text{ см}$

$\triangle ABC$ - основание, $\angle ACB = 90^\circ$

$AC = 1 \text{ см}$

$BC = 1 \text{ см}$

$SC = 0.02 \text{ м}$
$AC = 0.01 \text{ м}$
$BC = 0.01 \text{ м}$

Найти:

$R$ - радиус описанной сферы.

Решение:

Центр $O$ сферы, описанной около пирамиды $SABC$, является точкой, равноудаленной от всех ее вершин $S, A, B, C$.

1. Рассмотрим основание пирамиды — треугольник $ABC$. Это прямоугольный треугольник, так как по условию $\angle ACB = 90^\circ$. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AB = \sqrt{2}$ см.

Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Тогда $M$ — центр окружности, описанной около $\triangle ABC$. Радиус этой окружности $r$ равен расстоянию от центра до любой из вершин треугольника, например $CM$:

$r = CM = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Множество точек, равноудаленных от вершин основания $A, B, C$, представляет собой прямую $l$, проходящую через центр описанной окружности $M$ и перпендикулярную плоскости основания $(ABC)$. Так как по условию ребро $SC \perp (ABC)$, то прямая $l$ параллельна ребру $SC$.

3. Множество точек, равноудаленных от вершин $S$ и $C$, представляет собой плоскость $\alpha$, которая является серединным перпендикуляром к отрезку $SC$. Эта плоскость проходит через середину $K$ отрезка $SC$ и перпендикулярна ему. Так как $SC \perp (ABC)$, то плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(ABC)$ и находится на расстоянии $KC = \frac{SC}{2}$ от нее.

$KC = \frac{2}{2} = 1$ см.

4. Центр описанной сферы $O$ является точкой пересечения прямой $l$ и плоскости $\alpha$. Расстояние от точки $O$ до плоскости основания $(ABC)$ равно расстоянию от плоскости $\alpha$ до плоскости $(ABC)$, то есть $OM = KC = 1$ см. Так как прямая $l$ (на которой лежит $O$) перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то отрезок $OM$ перпендикулярен любому отрезку в этой плоскости, в частности $MC$.

5. Таким образом, треугольник $\triangle OMC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OMC = 90^\circ$. Гипотенуза этого треугольника $OC$ является радиусом $R$ описанной сферы. По теореме Пифагора:

$R^2 = OC^2 = OM^2 + MC^2$

Подставим найденные значения $OM = 1$ см и $MC = r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см:

$R^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{2}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Ответ:

Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см.