Номер 20, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 2 см, и двугранные углы при основании равны $60^\circ$.

Дано:

Пирамида - правильная четырехугольная.

Сторона основания $a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Двугранные углы при основании $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, находится на ее высоте. Для нахождения радиуса сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину и середины двух противоположных сторон основания.

Данное сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания пирамиды $a$, а углы при основании равны двугранным углам при основании пирамиды $\alpha$. Сфера будет пересекаться с плоскостью этого сечения по окружности, вписанной в этот равнобедренный треугольник. Радиус этой окружности и будет являться искомым радиусом $r$ вписанной сферы.

Обозначим равнобедренный треугольник сечения как $MSN$, где $S$ - вершина пирамиды, а $MN$ - отрезок, соединяющий середины противоположных сторон основания. Таким образом, $MN = a = 2 \text{ см}$. Пусть $SO$ - высота пирамиды (и треугольника $MSN$), тогда $O$ - центр основания пирамиды и середина отрезка $MN$. Следовательно, $OM = \frac{a}{2}$.

В треугольнике $MSN$ угол при основании $\angle SMO = \alpha = 60^\circ$.

Центр $I$ вписанной окружности (и сферы) лежит на высоте $SO$, так как $SO$ является осью симметрии треугольника $MSN$. Центр вписанной окружности также является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$, где $\angle O = 90^\circ$. Катет $IO$ равен радиусу вписанной сферы $r$. Катет $OM = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ см}$.

Так как $I$ - центр вписанной окружности, то отрезок $MI$ является биссектрисой угла $\angle SMO$. Следовательно, угол $\angle IMO$ равен половине угла $\angle SMO$:

$\angle IMO = \frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

В прямоугольном треугольнике $IOM$ по определению тангенса имеем:

$\tan(\angle IMO) = \frac{IO}{OM}$

Отсюда выразим радиус $r=IO$:

$r = OM \cdot \tan(\angle IMO)$

Подставим известные значения:

$r = 1 \text{ см} \cdot \tan(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Ответ: Радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.