Номер 15, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Сфера вписана в прямую четырехугольную призму, в основании которой четырехугольник, периметром 4 см и площадью $2\text{ см}^2$. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:

Призма - прямая четырехугольная
Периметр основания, $P = 4$ см
Площадь основания, $S = 2$ см²

Перевод в систему СИ:
$P = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$S = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Радиус вписанной сферы, $R$

Решение:

Если в прямую призму можно вписать сферу, это означает, что сфера касается обоих оснований призмы и всех ее боковых граней. Касание оснований означает, что высота призмы равна диаметру сферы ($H = 2R$). Касание боковых граней означает, что в многоугольник основания можно вписать окружность, и радиус этой окружности равен радиусу вписанной сферы.

Таким образом, радиус вписанной сферы $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в четырехугольник, который является основанием призмы. Наша задача сводится к нахождению радиуса этой вписанной окружности.

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность (такой многоугольник называется описанным), его площадь $S$ связана с периметром $P$ и радиусом вписанной окружности $r$ следующей формулой:
$S = p \cdot r$
где $p$ — полупериметр многоугольника ($p = P/2$).

Сначала вычислим полупериметр основания. Периметр $P$ дан по условию и равен 4 см:
$p = \frac{P}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}$

Теперь мы можем выразить радиус вписанной окружности $r$ из формулы площади:
$r = \frac{S}{p}$

Подставим известные значения площади основания $S = 2$ см² и вычисленного полупериметра $p = 2$ см:
$r = \frac{2 \text{ см}^2}{2 \text{ см}} = 1 \text{ см}$

Так как радиус вписанной сферы $R$ равен радиусу вписанной в основание окружности $r$, то:
$R = r = 1 \text{ см}$

Ответ: 1 см.