Номер 12, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AC$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Все ребра равны 1 см:

$AB = BC = CD = DA = 1$ см

$SA = SB = SC = SD = 1$ см

Найти:

Расстояние между скрещивающимися прямыми SB и AC, $d(SB, AC)$.

Решение:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Найдем его, используя свойства правильной пирамиды.

1. Пусть O – центр квадрата ABCD, который является точкой пересечения его диагоналей. Так как пирамида правильная, отрезок SO является её высотой, а значит, $SO \perp (ABC)$.

2. В основании пирамиды лежит квадрат, поэтому его диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.

3. Прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $SO$, которые лежат в плоскости $SBD$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AC перпендикулярна плоскости $SBD$, то есть $AC \perp (SBD)$.

4. Прямая SB лежит в плоскости $SBD$. Общий перпендикуляр к прямым AC и SB должен быть перпендикулярен обеим этим прямым. Поскольку он перпендикулярен прямой AC, он должен лежать в плоскости, проходящей через точку пересечения O и перпендикулярной AC. Этой плоскостью является SBD. Значит, общий перпендикуляр исходит из точки O на прямой AC и опускается на прямую SB.

5. Таким образом, искомое расстояние – это длина высоты OQ, проведенной из вершины O на прямую SB в треугольнике SOB. Так как SO - высота пирамиды, то $SO \perp OB$, и треугольник SOB - прямоугольный с прямым углом при вершине O.

6. Найдем длины катетов треугольника SOB:

- Сторона основания (квадрата) $AB = 1$ см. Диагональ квадрата вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$, поэтому $BD = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

- Точка O является серединой диагонали BD, поэтому катет $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

- Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. Гипотенуза SB (боковое ребро) равна 1 см по условию. Найдем второй катет SO (высоту пирамиды) по теореме Пифагора:

$SO^2 + OB^2 = SB^2$

$SO^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1^2$

$SO^2 + \frac{2}{4} = 1$

$SO^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

7. Теперь найдем длину высоты OQ в прямоугольном треугольнике SOB, проведенной к гипотенузе SB. Для этого воспользуемся методом площадей. Площадь прямоугольного треугольника SOB равна половине произведения катетов:

$S_{\triangle SOB} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$ см$^2$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

$S_{\triangle SOB} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot OQ$

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти OQ:

$\frac{1}{2} \cdot SB \cdot OQ = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot OQ = \frac{1}{4}$

$OQ = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Итак, искомое расстояние между прямыми SB и AC равно 0.5 см.

Ответ: $\frac{1}{2}$ см.