Номер 8, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $DE_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.
Длина ребра основания $a = 1 \text{ см}$.
Длина бокового ребра (высота) $h = 1 \text{ см}$.

$a = 0.01 \text{ м}$
$h = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $DE_1$.

Решение:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Его можно найти как расстояние между двумя параллельными плоскостями, каждая из которых содержит одну из этих прямых.

Рассмотрим прямую $AB_1$. Она лежит в плоскости боковой грани $(ABB_1A_1)$, так как точки $A$ и $B_1$ принадлежат этой плоскости.

Рассмотрим прямую $DE_1$. Она лежит в плоскости боковой грани $(DEE_1D_1)$, так как точки $D$ и $E_1$ принадлежат этой плоскости.

Докажем, что плоскости $(ABB_1A_1)$ и $(DEE_1D_1)$ параллельны. Для этого достаточно показать, что две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости.

1. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Сторона $AB$ противолежит стороне $ED$. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $ED$ (или $DE$).

2. Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная, а значит, прямая. Ее боковые ребра перпендикулярны основаниям и параллельны друг другу. Следовательно, боковое ребро $AA_1$ параллельно боковому ребру $DD_1$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые $AB$ и $AA_1$ в плоскости $(ABB_1A_1)$ параллельны двум пересекающимся прямым $DE$ и $DD_1$ в плоскости $(DEE_1D_1)$. Значит, плоскость $(ABB_1A_1)$ параллельна плоскости $(DEE_1D_1)$.

Раз искомые прямые $AB_1$ и $DE_1$ лежат в параллельных плоскостях, то расстояние между ними равно расстоянию между этими плоскостями.

Расстояние между параллельными плоскостями боковых граней $(ABB_1A_1)$ и $(DEE_1D_1)$ постоянно и равно расстоянию между их основаниями — параллельными прямыми $AB$ и $DE$ в плоскости основания.

Найдем расстояние между прямыми $AB$ и $DE$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Это расстояние равно удвоенному апофеме (радиусу вписанной окружности) правильного шестиугольника. Апофема $r$ равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$.

Формула для высоты равностороннего треугольника (апофемы шестиугольника):

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значение $a=1$ см:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$

Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DE$ равно $d = 2r$.

$d = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см}$

Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $DE_1$ также равно $\sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.