Номер 3, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $CD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра $a = 1$ (так как куб единичный)

Найти:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $CD_1$, которое обозначим как $\rho(AB_1, CD_1)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине D. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$A(1, 0, 0)$

$B_1(1, 1, 1)$

$C(0, 1, 0)$

$D_1(0, 0, 1)$

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Это расстояние можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Рассмотрим прямую $CD_1$. Она лежит в плоскости задней грани куба $CDD_1C_1$. Все точки этой плоскости имеют координату $x=0$. Следовательно, уравнение плоскости $(CDD_1)$ есть $x=0$.

Теперь проверим, параллельна ли прямая $AB_1$ этой плоскости. Прямая параллельна плоскости, если ее направляющий вектор перпендикулярен вектору нормали к плоскости.

Найдем направляющий вектор прямой $AB_1$:

$\vec{v}_{AB_1} = \vec{B_1} - \vec{A} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

Вектор нормали к плоскости $x=0$ (или $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0$) имеет координаты:

$\vec{n} = (1, 0, 0)$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}_{AB_1}$ и $\vec{n}$:

$\vec{v}_{AB_1} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, прямая $AB_1$ параллельна плоскости $(CDD_1)$.

Следовательно, расстояние между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равно расстоянию от прямой $AB_1$ до плоскости $(CDD_1)$. Так как прямая параллельна плоскости, это расстояние равно расстоянию от любой точки прямой $AB_1$ до плоскости $(CDD_1)$. Возьмем точку $A(1, 0, 0)$.

Расстояние от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Для точки $A(1, 0, 0)$ и плоскости $x=0$ получаем:

$\rho(A, (CDD_1)) = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}} = \frac{|1|}{1} = 1$

Таким образом, расстояние между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равно 1.

Альтернативное геометрическое рассуждение:

Прямая $AB_1$ является диагональю передней грани $ABB_1A_1$ и, следовательно, целиком лежит в плоскости этой грани. Прямая $CD_1$ является диагональю задней грани $CDD_1C_1$ и лежит в плоскости этой грани. Плоскости передней и задней граней куба ($ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$) параллельны друг другу. Расстояние между этими параллельными плоскостями равно длине ребра куба, перпендикулярного им, например, ребра $AD$. Так как куб единичный, то $AD=1$. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими плоскостями. Следовательно, искомое расстояние равно 1.

Ответ: 1.