Номер 2, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Ребро куба $a=1$ (так как куб единичный).

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Решение:

1. Сначала определим взаимное расположение прямых $AB$ и $C_1D_1$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $ABB_1A_1$ является квадратом, поэтому ребро $AB$ параллельно ребру $A_1B_1$.

Верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ также является квадратом, поэтому ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $D_1C_1$.

Из того, что $AB \parallel A_1B_1$ и $A_1B_1 \parallel D_1C_1$, по свойству транзитивности параллельности прямых следует, что $AB \parallel D_1C_1$. Прямая $D_1C_1$ и прямая $C_1D_1$ — это одна и та же прямая. Следовательно, прямые $AB$ и $C_1D_1$ параллельны.

2. Расстояние между параллельными прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Рассмотрим грань куба $ADD_1A_1$. Эта грань является квадратом со стороной 1.

Ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $ADD_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости: $AB \perp AD$ и $AB \perp AA_1$ (как ребра куба, исходящие из одной вершины).

Отрезок $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$ и целиком лежит в этой плоскости.

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ADD_1A_1$. Следовательно, $AB \perp AD_1$.

Отрезок $AD_1$ соединяет точку $A$ на прямой $AB$ с точкой $D_1$ на прямой $C_1D_1$. Поскольку $AD_1$ перпендикулярен прямой $AB$, а прямая $C_1D_1$ параллельна $AB$, то $AD_1$ будет перпендикулярен и прямой $C_1D_1$.

Таким образом, $AD_1$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $C_1D_1$, и его длина равна искомому расстоянию.

3. Найдем длину диагонали $AD_1$ квадрата $ADD_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ADD_1$ (с прямым углом при вершине $D$):

$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$

$AD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AD_1 = \sqrt{2}$

Следовательно, расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$ равно $\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.