Номер 15, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $DEA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Для удобства вычислений будем использовать сантиметры, так как итоговый результат не зависит от выбора единиц измерения, если они согласованы.

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости $DEA_1$, обозначим его $h$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Oz$ вдоль бокового ребра $AA_1$, а ось $Ox$ вдоль ребра основания $AB$. Плоскость $Oxy$ будет совпадать с плоскостью нижнего основания призмы $ABCDEF$.

Так как все ребра призмы равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $H=1$.

Найдем координаты необходимых для решения точек: $A$, $A_1$, $D$, $E$.

1. Координаты точки $A$ являются началом координат: $A(0, 0, 0)$.

2. Точка $A_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии 1 от начала координат: $A_1(0, 0, 1)$.

3. Для нахождения координат точек $D$ и $E$ рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.
Координаты точки $B$: $B(1, 0, 0)$.
Координаты точки $C$: из точки $B$ нужно отложить отрезок длиной 1 под углом $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ к оси $Ox$. $x_C = x_B + 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 + 1/2 = 3/2$. $y_C = y_B + 1 \cdot \sin(60^\circ) = 0 + \sqrt{3}/2 = \sqrt{3}/2$. Получаем $C(3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$ и вдвое длиннее ее. Таким образом, вектор $\vec{AD} = 2\vec{BC}$.
$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (3/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{AD} = 2 \cdot (1/2, \sqrt{3}/2, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.
Координаты точки $D$: $D = A + \vec{AD} = (0,0,0) + (1, \sqrt{3}, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.

В правильном шестиугольнике сторона $DE$ параллельна и противоположна по направлению стороне $AB$. Таким образом, $\vec{DE} = -\vec{AB}$.
$\vec{AB} = (1, 0, 0)$, следовательно, $\vec{DE} = (-1, 0, 0)$.
Координаты точки $E$: $E = D + \vec{DE} = (1, \sqrt{3}, 0) + (-1, 0, 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.

Итак, мы имеем координаты точек, определяющих плоскость $DEA_1$:
$D(1, \sqrt{3}, 0)$, $E(0, \sqrt{3}, 0)$, $A_1(0, 0, 1)$.

Составим уравнение плоскости $DEA_1$, проходящей через эти три точки. Уравнение плоскости в общем виде: $ax+by+cz+d=0$.
Для этого найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости как векторное произведение векторов $\vec{ED}$ и $\vec{EA_1}$.
$\vec{ED} = D - E = (1 - 0, \sqrt{3} - \sqrt{3}, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.
$\vec{EA_1} = A_1 - E = (0 - 0, 0 - \sqrt{3}, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.
$\vec{n} = \vec{ED} \times \vec{EA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k}$.
Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (0, -1, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $0 \cdot x - 1 \cdot y - \sqrt{3} \cdot z + d = 0$, или $-y - \sqrt{3}z + d = 0$.
Для нахождения коэффициента $d$ подставим в уравнение координаты любой из точек, принадлежащих плоскости, например, $E(0, \sqrt{3}, 0)$:
$ -(\sqrt{3}) - \sqrt{3}(0) + d = 0 \Rightarrow d = \sqrt{3}$.
Получаем уравнение плоскости $DEA_1$: $-y - \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$, или $y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$.

Теперь найдем расстояние $h$ от точки $A(0, 0, 0)$ до плоскости $y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:
$h = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$, а коэффициенты уравнения плоскости: $A=0, B=1, C=\sqrt{3}, D=-\sqrt{3}$.
$h = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 0 - \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку все вычисления проводились для ребра длиной 1 см, то и расстояние получено в сантиметрах.

Ответ: Расстояние от точки A до плоскости $DEA_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.