Номер 10, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки A до плоскости $BDC_1$.

11. В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$, ребра которой

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный куб.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $BDC_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до плоскости воспользуемся методом объемов. Рассмотрим пирамиду $ABDC_1$. Искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $BDC_1$ является высотой $h$ этой пирамиды, опущенной из вершины $A$ на основание $BDC_1$.

Объем пирамиды можно вычислить по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.

1. Вычислим объем пирамиды, приняв за ее основание треугольник $ABD$, а за вершину — точку $C_1$.

Треугольник $ABD$ является прямоугольным, так как лежит в основании куба (грань $ABCD$ — квадрат). Катеты $AB$ и $AD$ равны ребру куба, то есть $AB = 1$ и $AD = 1$.

Площадь основания $S_{ABD}$ равна:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Высотой пирамиды $C_1ABD$ является ребро $CC_1$, перпендикулярное плоскости основания $ABCD$. Длина высоты $H = CC_1 = 1$.

Тогда объем пирамиды $V_{ABDC_1}$ равен:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABD} \cdot CC_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$

2. Теперь рассмотрим ту же пирамиду, но с основанием $BDC_1$. Искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $BDC_1$ будет высотой $h$, опущенной из вершины $A$ на это основание.

Найдем площадь треугольника $BDC_1$. Для этого определим длины его сторон. Стороны $BD$, $DC_1$ и $BC_1$ являются диагоналями граней единичного куба.

Длина диагонали грани куба со стороной $a=1$ равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Следовательно, $BD = \sqrt{2}$, $DC_1 = \sqrt{2}$, $BC_1 = \sqrt{2}$.

Так как все стороны треугольника $BDC_1$ равны, он является равносторонним со стороной $\sqrt{2}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a_{tr}$ вычисляется по формуле $S = \frac{a_{tr}^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{BDC_1} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Приравняем объемы, вычисленные двумя способами.

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{BDC_1} \cdot h$, где $h$ — искомое расстояние.

$\frac{1}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h$

$\frac{1}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot h$

Выразим $h$:

$h = \frac{1/6}{\sqrt{3}/6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.