Номер 4, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В правильной треугольной призме $ABC{A_1}{B_1}{C_1}$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0.01$ м.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$: $\rho(AB, B_1C_1)$.

Решение:

Прямые $AB$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для нахождения этого расстояния можно использовать несколько методов.

Способ 1: Нахождение общего перпендикуляра

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине отрезка, который перпендикулярен обеим прямым и концы которого лежат на этих прямых.

1. Рассмотрим боковое ребро $BB_1$. Один его конец, точка $B$, лежит на прямой $AB$. Другой конец, точка $B_1$, принадлежит прямой, содержащей отрезок $B_1C_1$.

2. Проверим, является ли отрезок $BB_1$ перпендикуляром к обеим прямым.

3. Перпендикулярность к прямой $AB$: Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная, ее боковая грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $BB_1 \perp AB$.

4. Перпендикулярность к прямой $B_1C_1$: Так как призма правильная, она является прямой призмой. Это означает, что боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Поскольку прямая $B_1C_1$ лежит в этой плоскости, то ребро $BB_1$ перпендикулярно прямой $B_1C_1$ ($BB_1 \perp B_1C_1$).

5. Так как отрезок $BB_1$ соединяет прямые $AB$ и $B_1C_1$ и перпендикулярен им обеим, он является их общим перпендикуляром.

6. Длина этого отрезка и есть искомое расстояние. По условию, все ребра призмы равны 1 см, значит, $|BB_1| = 1$ см.

Способ 2: Метод параллельной плоскости

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

1. Найдем расстояние от прямой $AB$ до плоскости, содержащей прямую $B_1C_1$ и параллельной прямой $AB$.

2. Рассмотрим плоскость верхнего основания призмы $(A_1B_1C_1)$. Эта плоскость содержит прямую $B_1C_1$.

3. В правильной призме основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, и соответствующие стороны оснований также параллельны. В частности, прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $AB$ ($A_1B_1 || AB$).

4. Так как плоскость $(A_1B_1C_1)$ содержит прямую $A_1B_1$, которая параллельна прямой $AB$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AB$ параллельна плоскости $(A_1B_1C_1)$.

5. Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равно расстоянию от прямой $AB$ до параллельной ей плоскости $(A_1B_1C_1)$.

6. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Возьмем точку $B$ на прямой $AB$. Искомое расстояние равно расстоянию от точки $B$ до плоскости $(A_1B_1C_1)$.

7. В правильной призме боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(A_1B_1C_1)$. Следовательно, длина отрезка $BB_1$ и есть расстояние от точки $B$ до плоскости $(A_1B_1C_1)$.

8. По условию задачи, все ребра призмы равны 1 см. Значит, $\rho(AB, B_1C_1) = |BB_1| = 1$ см.

Способ 3: Метод координат

1. Введем прямоугольную систему координат. Расположим начало координат в точке $A(0, 0, 0)$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AC$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$.

2. Определим координаты вершин. $A(0, 0, 0)$, $C(1, 0, 0)$, $A_1(0, 0, 1)$.

3. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной 1. Его высота равна $h = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Координаты точки $B$: $x_B = |AB|\cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, $y_B = |AB|\sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

4. Координаты вершин верхнего основания: $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ и $C_1(1, 0, 1)$.

5. Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и точками $M_1$, $M_2$ на них, вычисляется по формуле: $d = \frac{|(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) \cdot \vec{M_1M_2}|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$.

6. Для прямой $AB$: точка $M_1 = A(0,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v}_1 = \vec{AB} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

7. Для прямой $B_1C_1$: точка $M_2 = B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, направляющий вектор $\vec{v}_2 = \vec{B_1C_1} = (1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

8. Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = \vec{AB_1} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

9. Вычисляем векторное произведение: $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}(-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = (0, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

10. Модуль векторного произведения: $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{0^2+0^2+(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

11. Вычисляем смешанное произведение: $(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) \cdot \vec{M_1M_2} = (0, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

12. Модуль смешанного произведения: $|-\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

13. Находим расстояние: $d = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$ см.

Ответ: 1 см.