Номер 9, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$, которое обозначим как $\rho(BA_1, DB_1)$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $x$ вдоль ребра $DA$, ось $y$ — вдоль ребра $DC$, а ось $z$ — вдоль ребра $DD_1$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$D(0, 0, 0)$

$A(1, 0, 0)$

$C(0, 1, 0)$

$D_1(0, 0, 1)$

$B(1, 1, 0)$ (так как $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC}$)

$A_1(1, 0, 1)$

$B_1(1, 1, 1)$

$C_1(0, 1, 1)$

Прямые $BA_1$ и $DB_1$ являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми $l_1$ и $l_2$ можно найти по формуле:

$\rho(l_1, l_2) = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$

где $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ — направляющие векторы прямых $l_1$ и $l_2$, а $M_1$ и $M_2$ — точки, принадлежащие этим прямым соответственно.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{u_1}$ для прямой $BA_1$. Эта прямая проходит через точки $B(1, 1, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

$\vec{u_1} = \vec{A_1B} = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$.

В качестве точки $M_1$ на этой прямой возьмем точку $B(1, 1, 0)$.

2. Найдем направляющий вектор $\vec{u_2}$ для прямой $DB_1$. Эта прямая проходит через точки $D(0, 0, 0)$ и $B_1(1, 1, 1)$.

$\vec{u_2} = \vec{DB_1} = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.

В качестве точки $M_2$ на этой прямой возьмем точку $D(0, 0, 0)$.

3. Найдем вектор $\vec{M_2M_1}$, соединяющий точки на прямых.

$\vec{M_2M_1} = \vec{DB} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$.

4. Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$.

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (2, -1, -1)$.

5. Найдем модуль векторного произведения.

$|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.

6. Вычислим смешанное произведение (числитель формулы).

$\vec{M_2M_1} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) = (1, 1, 0) \cdot (2, -1, -1) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = 2 - 1 + 0 = 1$.

7. Подставим найденные значения в формулу для расстояния.

$\rho(BA_1, DB_1) = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$ равно $\frac{\sqrt{6}}{6}$.