Номер 14, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AF$.

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида.
Сторона основания $a = 1$ см.
Боковое ребро $l = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м.
$l = 0.02$ м.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AF$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $SB$ и $AF$ воспользуемся координатным методом. Введем декартову систему координат с началом в центре основания пирамиды (точка $O$). Ось $Oz$ направим по высоте пирамиды $SO$, а оси $Ox$ и $Oy$ расположим в плоскости основания $ABCDEF$.

В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Радиус описанной около него окружности также равен $R=a=1$. Расположим вершину $A$ на положительной части оси $Ox$. Тогда координаты вершин шестиугольника будут следующими:

$A(R\cos(0^\circ); R\sin(0^\circ); 0) \Rightarrow A(1; 0; 0)$

$B(R\cos(60^\circ); R\sin(60^\circ); 0) \Rightarrow B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$

$F(R\cos(-60^\circ); R\sin(-60^\circ); 0) \Rightarrow F(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$

Вершина пирамиды $S$ находится на оси $Oz$, ее координаты $S(0; 0; h)$, где $h=SO$ – высота пирамиды. Найдем высоту из прямоугольного треугольника $SOA$. Катет $OA$ равен радиусу описанной окружности ($OA=1$), гипотенуза $SA$ – боковое ребро ($SA=2$). По теореме Пифагора:

$h^2 = SO^2 = SA^2 - OA^2 = 2^2 - 1^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Следовательно, координаты вершины $S(0; 0; \sqrt{3})$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точками $M_1$, $M_2$ и направляющими векторами $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле смешанного произведения:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

Для прямой $SB$ в качестве точки $M_1$ возьмем точку $S(0; 0; \sqrt{3})$, а в качестве направляющего вектора $\vec{s_1}$ – вектор $\vec{SB}$.

$\vec{s_1} = \vec{SB} = \{\frac{1}{2}-0; \frac{\sqrt{3}}{2}-0; 0-\sqrt{3}\} = \{\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; -\sqrt{3}\}$

Для прямой $AF$ в качестве точки $M_2$ возьмем точку $A(1; 0; 0)$, а в качестве направляющего вектора $\vec{s_2}$ – вектор $\vec{AF}$.

$\vec{s_2} = \vec{AF} = \{\frac{1}{2}-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}-0; 0-0\} = \{-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0\}$

Вектор, соединяющий точки $M_1$ и $M_2$:

$\vec{M_1M_2} = \vec{SA} = \{1-0; 0-0; 0-\sqrt{3}\} = \{1; 0; -\sqrt{3}\}$

Вычислим векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}= \vec{i}(0 - \frac{3}{2}) - \vec{j}(0 - \frac{\sqrt{3}}{2}) + \vec{k}(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = \{-\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0\}$

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

Теперь найдем скалярное произведение вектора $\vec{SA}$ на векторное произведение (смешанное произведение):

$\vec{SA} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = 1 \cdot (-\frac{3}{2}) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\sqrt{3}) \cdot 0 = -\frac{3}{2}$

Подставим значения в формулу для расстояния, взяв модуль смешанного произведения:

$d = \frac{|-3/2|}{\sqrt{3}} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.