Номер 4, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $CC_1$, $A_1 B_1$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (длина ребра $a=1$).
Сечение проходит через точки $M$, $N$, $K$, где:
$M$ — середина ребра $BB_1$.
$N$ — середина ребра $CC_1$.
$K$ — середина ребра $A_1B_1$.

Найти:
Описать сечение и найти его площадь $S$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AD(Ox)$, $AB(Oy)$ и $AA_1(Oz)$.

Координаты вершин, необходимых для нахождения середин ребер: $A_1(0,0,1)$, $B(0,1,0)$, $B_1(0,1,1)$, $C(1,1,0)$, $C_1(1,1,1)$.

Найдем координаты точек $M$, $N$ и $K$:

$M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(0, 1, \frac{1}{2}\right)$.
$N = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(1, 1, \frac{1}{2}\right)$.
$K = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$.

Искомое сечение — это плоский многоугольник, проходящий через точки $K, M, N$. Так как секущая плоскость пересекает параллельные грани куба, то линии пересечения с этими гранями параллельны. Это означает, что сечение является параллелограммом. Пусть четвертая вершина этого параллелограмма — точка $L$. Тогда должно выполняться векторное равенство $\vec{KL} = \vec{MN}$.

Найдем вектор $\vec{MN}$: $\vec{MN} = N - M = (1-0, 1-1, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}) = (1, 0, 0)$.

Теперь найдем координаты точки $L$: $L = K + \vec{MN} = (0, \frac{1}{2}, 1) + (1, 0, 0) = (1, \frac{1}{2}, 1)$.

Точка $L(1, \frac{1}{2}, 1)$ является серединой ребра $D_1C_1$ (находится между $D_1(1,0,1)$ и $C_1(1,1,1)$). Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $KMNL$, вершины которого являются серединами ребер $A_1B_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $D_1C_1$.

Чтобы найти площадь, определим вид четырехугольника $KMNL$. Найдем вектор $\vec{KM}$: $\vec{KM} = M - K = (0-0, 1-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-1) = (0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

Найдем длины смежных сторон $MN$ и $KM$: $|\vec{MN}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.
$|\vec{KM}| = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим, является ли параллелограмм $KMNL$ прямоугольником, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{KM}$: $\vec{MN} \cdot \vec{KM} = (1)(0) + (0)(\frac{1}{2}) + (0)(-\frac{1}{2}) = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, угол между сторонами $MN$ и $KM$ прямой. Следовательно, сечение $KMNL$ — это прямоугольник.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: $S = |\vec{MN}| \cdot |\vec{KM}| = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечением является прямоугольник, вершины которого — середины ребер $A_1B_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $D_1C_1$. Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.