Номер 3, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$; все ребра которой равны 1 см, проходящее через середины ребер $AB, BC, A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.
Длина всех ребер $a = 1$ см.
Сечение проходит через точки $K, L, M$, где:
$K$ — середина ребра $AB$.
$L$ — середина ребра $BC$.
$M$ — середина ребра $A_1B_1$.

В системе СИ:
$a = 0.01$ м.

Найти:

$S_{сеч}$ — площадь сечения.

Решение:

1. Построим сечение. Соединим точки $K$ и $L$, так как они лежат в одной плоскости нижнего основания $(ABC)$. Отрезок $KL$ является частью искомого сечения. Поскольку $K$ и $L$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, то $KL$ — его средняя линия. По свойству средней линии, $KL$ параллельна $AC$ и равна половине ее длины: $KL = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

2. Соединим точки $K$ и $M$, так как они лежат в одной плоскости боковой грани $(ABB_1A_1)$. Отрезок $KM$ также является частью сечения.

3. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ по параллельным прямым. Следовательно, прямая, по которой секущая плоскость пересекает верхнее основание, должна быть параллельна прямой $KL$. Так как $KL \parallel AC$, то искомая прямая в верхнем основании должна быть параллельна $A_1C_1$. Проведем через точку $M$ (середину $A_1B_1$) прямую, параллельную $A_1C_1$. Эта прямая является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$ и пересекает ребро $B_1C_1$ в его середине. Обозначим эту точку $N$. Таким образом, $N$ — середина $B_1C_1$, а отрезок $MN$ — линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием. Длина $MN$ равна: $MN = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

4. Соединим точки $L$ и $N$, лежащие в плоскости грани $(BCC_1B_1)$, и точки $M$ и $K$, лежащие в плоскости грани $(ABB_1A_1)$. Полученный четырехугольник $KLNM$ и есть искомое сечение.

5. Определим вид четырехугольника $KLNM$. Мы установили, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN = 0.5$ см. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит, $KLNM$ — параллелограмм.

6. Найдем длины боковых сторон параллелограмма. Так как призма правильная и все ребра равны 1 см, ее боковые грани являются квадратами со стороной 1 см. В квадрате $ABB_1A_1$ отрезок $KM$ соединяет середины противоположных сторон $AB$ и $A_1B_1$. Следовательно, $KM$ параллелен $AA_1$ и $BB_1$ и равен им по длине: $KM = AA_1 = 1$ см. Аналогично, в квадрате $BCC_1B_1$ отрезок $LN$ соединяет середины противоположных сторон $BC$ и $B_1C_1$. Следовательно, $LN = BB_1 = 1$ см.

7. Теперь определим, является ли параллелограмм $KLNM$ прямоугольником. Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, она является прямой. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, $AA_1 \perp (ABC)$. Поскольку $KM \parallel AA_1$, то и $KM \perp (ABC)$. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $KL$ лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, $KM \perp KL$, то есть $\angle MKL = 90^\circ$.

8. Параллелограмм, имеющий прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, сечение $KLNM$ — это прямоугольник со сторонами $KL=0.5$ см и $KM=1$ см.

9. Найдем площадь этого прямоугольника: $S_{сеч} = S_{KLNM} = KL \cdot KM = 0.5 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 0.5 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $0.5 \text{ см}^2$.