Страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите объем шестиугольной призмы, основанием которой является правильный шестиугольник со сторонами равными 2 см, а боковые ребра равны 3 см и образуют угол $60^\circ$ с плоскостью основания этой призмы:

A) $6\sqrt{3}$ cm$^3$;

B) 9 cm$^3$;

C) 27 cm$^3$;

D) $9\sqrt{3}$ cm$^3$.

Дано:

Основание призмы – правильный шестиугольник.
Сторона основания, $a = 2$ см.
Длина бокового ребра, $l = 3$ см.
Угол наклона бокового ребра к плоскости основания, $\alpha = 60^{\circ}$.

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$l = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем призмы, $V$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot H$,где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота призмы.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$). Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ см. Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$.
Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Следовательно, площадь всего шестиугольного основания:$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
Подставим в формулу значение стороны $a = 2$ см:$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем высоту призмы ($H$). Так как боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $\alpha = 60^{\circ}$, то призма является наклонной. Высота призмы $H$, боковое ребро $l$ и его проекция на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $H$ – катетом, противолежащим углу $\alpha$.
Высоту можно найти через синус угла $\alpha$:$H = l \cdot \sin(\alpha)$.
Подставим известные значения $l = 3$ см и $\alpha = 60^{\circ}$:$H = 3 \cdot \sin(60^{\circ}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

3. Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объем призмы:$V = S_{осн} \cdot H = 6\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$V = \frac{6 \cdot 3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{18 \cdot 3}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см}^3$.

Ответ: $27 \text{ см}^3$.

6. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны $2 \text{ см}$:

A) $8 \text{ см}^3$;

B) $8\sqrt{2} \text{ см}^3$;

C) $16 \text{ см}^3$;

D) $16\sqrt{2} \text{ см}^3$.

Дано:

Правильная четырехугольная призма, вписанная в цилиндр.

Радиус основания цилиндра: $R = 2$ см.

Высота цилиндра: $H_{цил} = 2$ см.

Найти:

Объем призмы $V_{пр}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{пр} = S_{осн} \cdot h_{пр}$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $h_{пр}$ — ее высота.

Поскольку призма вписана в цилиндр, их высоты равны. Следовательно, высота призмы $h_{пр} = H_{цил} = 2$ см.

Основанием правильной четырехугольной призмы является квадрат. Этот квадрат вписан в основание цилиндра, которое представляет собой круг радиусом $R = 2$ см.

Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Диаметр окружности $D_{окр}$ равен двум радиусам:

$D_{окр} = 2 \cdot R = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Следовательно, диагональ квадрата в основании призмы $d = 4$ см.

Площадь квадрата можно найти через его диагональ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$.

Найдем площадь основания призмы:

$S_{осн} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см².

Теперь можем вычислить объем призмы:

$V_{пр} = S_{осн} \cdot h_{пр} = 8 \text{ см}² \cdot 2 \text{ см} = 16 \text{ см}³$.

Ответ: $16 \text{ см}³$.

7. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 8 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в два раза меньше первого:

A) 16 см; B) 32 см; C) 48 см; D) 64 см?

Дано:

Высота жидкости в первом сосуде, $h_1 = 8$ см

Соотношение диаметров сосудов, $d_2 = \frac{d_1}{2}$

(Поскольку все вычисления можно производить в одних и тех же единицах измерения (см), а ответ требуется в см, перевод в систему СИ не является обязательным для решения данной задачи).

Найти:

Высоту жидкости во втором сосуде, $h_2$ - ?

Решение:

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$

где $S_{осн}$ — площадь основания цилиндра, $r$ — радиус основания, а $h$ — высота уровня жидкости.

При переливании жидкости из одного сосуда в другой ее объем не изменяется. Обозначим объем, высоту, радиус и диаметр для первого сосуда с индексом 1, а для второго — с индексом 2.

Тогда можем записать, что $V_1 = V_2$.

Подставим формулы объемов:

$\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$

Сократим обе части уравнения на $\pi$:

$r_1^2 h_1 = r_2^2 h_2$

По условию задачи, диаметр второго сосуда в два раза меньше диаметра первого: $d_2 = \frac{d_1}{2}$.

Поскольку радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), то и радиус второго сосуда будет в два раза меньше радиуса первого:

$r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{d_1/2}{2} = \frac{d_1}{4}$, а $r_1 = \frac{d_1}{2}$. Следовательно, $r_2 = \frac{r_1}{2}$.

Подставим это соотношение в наше уравнение:

$r_1^2 h_1 = (\frac{r_1}{2})^2 h_2$

$r_1^2 h_1 = \frac{r_1^2}{4} h_2$

Сократим обе части уравнения на $r_1^2$ (так как радиус не может быть равен нулю):

$h_1 = \frac{h_2}{4}$

Отсюда выразим искомую высоту $h_2$:

$h_2 = 4 \cdot h_1$

Подставим известное значение $h_1 = 8$ см:

$h_2 = 4 \cdot 8 = 32$ см

Ответ: уровень жидкости во втором сосуде будет находиться на высоте 32 см, что соответствует варианту B).

8. Развертка боковой поверхности цилиндра — квадрат со стороной равной 2 см. Найдите объем цилиндра:

А) $\frac{2}{\pi}$ см³;

В) $\frac{4}{\pi}$ см³;

С) $2\pi$ см³;

D) $4\pi$ см³.

Дано:

Развертка боковой поверхности цилиндра — квадрат.

Сторона квадрата $a = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра $V$.

Решение:

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра $h$, а другая — длине окружности его основания $C$.

По условию задачи, эта развертка является квадратом со стороной $a = 2 \text{ см}$. Следовательно, высота цилиндра и длина окружности его основания равны стороне этого квадрата:

$h = a = 2 \text{ см}$

$C = a = 2 \text{ см}$

Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ – это радиус основания цилиндра. Используя значение $C$, мы можем найти радиус:

$2\pi r = 2$

$r = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \text{ см}$

Объем цилиндра находится по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ – это площадь основания.

Основание цилиндра – это круг, его площадь вычисляется по формуле $S_{\text{осн}} = \pi r^2$. Подставим найденное значение радиуса $r$:

$S_{\text{осн}} = \pi \cdot \left(\frac{1}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{1}{\pi^2} = \frac{1}{\pi} \text{ см}^2$

Теперь мы можем рассчитать объем цилиндра, зная площадь основания и высоту:

$V = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{\pi} \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см} = \frac{2}{\pi} \text{ см}^3$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту А.

Ответ: $\frac{2}{\pi} \text{ см}^3$.

9. Найдите объем цилиндра, описанного около треугольной призмы, ребра которой равны 3 см?

A) $3\pi \text{ см}^3$;

B) $6\pi \text{ см}^3$;

C) $9\pi \text{ см}^3$;

D) $12\pi \text{ см}^3$.

Дано:

Призма - правильная треугольная.

Ребро призмы (сторона основания и высота) $a = h_{призмы} = 3$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$h_{призмы} = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра, описанного около призмы, $V_{цил}$ - ?

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V_{цил} = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$

где $R$ – радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота.

Так как цилиндр описан около призмы, его высота равна высоте призмы. В условии сказано, что все ребра призмы равны 3 см. Это означает, что в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 3$ см, а высота призмы (боковое ребро) также равна 3 см.

Следовательно, высота цилиндра $h = h_{призмы} = 3$ см.

Основание цилиндра – это круг, описанный около основания призмы, то есть около равностороннего треугольника со стороной $a = 3$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, находится по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 3$ см:

$R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти объем цилиндра, подставив значения $R$ и $h$ в формулу объема:

$V_{цил} = \pi R^2 h = \pi \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot 3 = \pi \cdot 3 \cdot 3 = 9\pi$ см³.

Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $9\pi$ см³.

10. Объем треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равен 6 см³. Найдите объем четырехугольной пирамиды A₁BCC₁B₁:

A) 1 см³;

B) 2 см³;

C) 3 см³;

D) 4 см³.

Дано:

Объем треугольной призмы $V_{ABCA_1B_1C_1} = 6 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем четырехугольной пирамиды $V_{A_1BCC_1B_1}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Для данной призмы $ABCA_1B_1C_1$ с основанием $ABC$ ее объем равен:

$V_{ABCA_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot H = 6 \text{ см}^3$.

Представим исходную призму $ABCA_1B_1C_1$ как совокупность двух многогранников, полученных при сечении призмы плоскостью, проходящей через вершины $A_1$, $B$ и $C$. Этими многогранниками являются:

1. Треугольная пирамида $A_1ABC$.

2. Четырехугольная пирамида $A_1BCC_1B_1$, объем которой требуется найти.

Объем всей призмы равен сумме объемов этих двух частей:

$V_{ABCA_1B_1C_1} = V_{A_1ABC} + V_{A_1BCC_1B_1}$

Найдем объем треугольной пирамиды $A_1ABC$. Основанием этой пирамиды является треугольник $ABC$ (основание призмы), а ее высота, проведенная из вершины $A_1$ к плоскости основания $ABC$, совпадает с высотой призмы $H$.

Объем пирамиды находится по формуле $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Таким образом, объем пирамиды $A_1ABC$ составляет:

$V_{A_1ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H$

Так как $S_{ABC} \cdot H$ есть объем всей призмы, то:

$V_{A_1ABC} = \frac{1}{3} V_{ABCA_1B_1C_1}$

Подставим известное значение объема призмы:

$V_{A_1ABC} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \text{ см}^3$.

Теперь можем найти объем искомой четырехугольной пирамиды $A_1BCC_1B_1$, вычитая объем пирамиды $A_1ABC$ из объема всей призмы:

$V_{A_1BCC_1B_1} = V_{ABCA_1B_1C_1} - V_{A_1ABC}$

$V_{A_1BCC_1B_1} = 6 \text{ см}^3 - 2 \text{ см}^3 = 4 \text{ см}^3$.

Ответ: 4 см³.

11. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, ребра которой равны 2 см:

A) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ см³;

B) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ см³;

C) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см³;

D) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см³.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Ребро основания $a = 2$ см.

Боковое ребро $l = 2$ см.

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Сторона квадрата $a = 2$ см.
Площадь основания равна:

$S_{осн} = a^2 = 2^2 = 4$ см².

2. Найдем высоту пирамиды $H$.
Высота правильной пирамиды ($H$), боковое ребро ($l$) и половина диагонали основания ($\frac{d}{2}$) образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой.
Сначала найдем диагональ основания $d$. Для квадрата со стороной $a$ диагональ равна $d = a\sqrt{2}$.

$d = 2\sqrt{2}$ см.

Половина диагонали равна:

$\frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем высоту $H$:

$H^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2$

$H^2 + (\sqrt{2})^2 = 2^2$

$H^2 + 2 = 4$

$H^2 = 4 - 2 = 2$

$H = \sqrt{2}$ см.

3. Вычислим объем пирамиды.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ см³.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту B.

Ответ: $V = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ см³.

12. Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 6 $см^3$. Найдите объем тетраэдра $ACB_1D_1$:

A) 1 $см^3$;

B) 2 $см^3$;

C) 3 $см^3$;

D) 4 $см^3$.

Дано:

Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $V_{\text{куба}} = 6 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем тетраэдра $ACB_1D_1$.

Решение:

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда объем куба равен $V_{\text{куба}} = a^3$. Из условия задачи мы знаем, что $a^3 = 6 \text{ см}^3$.

Объем тетраэдра $ACB_1D_1$ можно найти, если из объема всего куба вычесть объемы четырех пирамид, которые "отсекаются" от углов куба. Этими пирамидами являются:

1. Пирамида с вершиной $B$ и основанием $AB_1C$ (или, что удобнее для расчета, с вершиной $B_1$ и основанием $ABC$).

2. Пирамида с вершиной $D$ и основанием $AD_1C$ (удобнее с вершиной $D_1$ и основанием $ADC$).

3. Пирамида с вершиной $A_1$ и основанием $AB_1D_1$ (удобнее с вершиной $A$ и основанием $A_1B_1D_1$).

4. Пирамида с вершиной $C_1$ и основанием $CB_1D_1$ (удобнее с вершиной $C$ и основанием $C_1B_1D_1$).

Все эти четыре пирамиды равны между собой. Вычислим объем одной из них, например, пирамиды $B_1ABC$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

В качестве основания возьмем треугольник $ABC$. Это прямоугольный треугольник, лежащий в основании куба, с катетами $AB = a$ и $BC = a$.

Площадь основания: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$.

Высотой пирамиды, опущенной из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABC$, является ребро куба $BB_1 = a$.

Тогда объем одной такой пирамиды равен: $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\right) \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.

Поскольку все четыре "угловые" пирамиды имеют одинаковый объем, их суммарный объем равен:

$V_{\text{4 пир}} = 4 \cdot \frac{1}{6}a^3 = \frac{4}{6}a^3 = \frac{2}{3}a^3$.

Объем искомого тетраэдра $ACB_1D_1$ равен разности объема куба и суммарного объема четырех пирамид:

$V_{ACB_1D_1} = V_{\text{куба}} - V_{\text{4 пир}} = a^3 - \frac{2}{3}a^3 = \frac{1}{3}a^3$.

Мы знаем, что $V_{\text{куба}} = a^3 = 6 \text{ см}^3$. Подставим это значение в полученную формулу:

$V_{ACB_1D_1} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{куба}} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \text{ см}^3$.

Ответ: $2 \text{ см}^3$.

13. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см и образуют угол 30° с плоскостью основания этой пирамиды:

A) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см$^3$;

B) $\frac{2\sqrt{3}}{2}$ см$^3$;

C) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^3$;

D) $\sqrt{3}$ см$^3$.

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная.

Длина бокового ребра $l = 2$ см.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания $α = 30°$.

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

Для нахождения объема нам необходимо определить высоту пирамиды $H$ и площадь ее основания $S_{осн}$.

В правильной шестиугольной пирамиде высота ($H$) опускается из вершины в центр основания. Боковое ребро ($l$), его проекция на плоскость основания ($R$) и высота пирамиды ($H$) образуют прямоугольный треугольник. Проекция бокового ребра на основание является радиусом описанной около основания окружности ($R$). Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром ($l$) и его проекцией ($R$).

Из этого прямоугольного треугольника, где $l$ - гипотенуза, а $α = 30°$ - угол, прилежащий к катету $R$, находим $H$ и $R$:

Высота $H$ (противолежащий катет):

$H = l \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Радиус описанной окружности $R$ (прилежащий катет):

$R = l \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника ($a$) равна радиусу описанной около него окружности ($R$). Следовательно:

$a = R = \sqrt{3}$ см.

Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{3(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см³.

Полученный результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3}}{2} $ см³.