Номер 7, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между прямой AB и плоскостью $CDD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1 см, т.е. $AB = BB_1 = 1$ см.

Найти:

Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $CDD_1$.

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим основания призмы – правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В правильном шестиугольнике стороны, расположенные через одну, параллельны. В частности, сторона $CD$ параллельна стороне $AF$. То есть, $CD \parallel AF$.

Поскольку призма правильная, она является прямой, и ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, все боковые ребра параллельны друг другу: $DD_1 \parallel AA_1$.

Мы имеем две пересекающиеся прямые ($CD$ и $DD_1$) в плоскости $CDD_1$, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($AF$ и $AA_1$) в плоскости $AFF_1$. По признаку параллельности плоскостей, плоскость $(CDD_1)$ параллельна плоскости $(AFF_1)$.

Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $(CDD_1)$ равен углу между прямой $AB_1$ и параллельной ей плоскостью $(AFF_1)$.

Найдем угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $(AFF_1)$. Точка $A$ прямой $AB_1$ принадлежит этой плоскости. Поэтому искомый угол $\alpha$ — это угол между прямой $AB_1$ и её проекцией на плоскость $(AFF_1)$.

Построим проекцию прямой $AB_1$ на плоскость $(AFF_1)$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $B_1$ на плоскость $(AFF_1)$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда прямая $AH$ является проекцией прямой $AB_1$ на плоскость $(AFF_1)$, а искомый угол $\alpha$ равен углу $\angle B_1AH$.

Треугольник $\triangle B_1AH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AHB_1 = 90^\circ$. Синус угла $\alpha$ можно найти из соотношения:

$\sin(\alpha) = \frac{HB_1}{AB_1}$

Найдем длины гипотенузы $AB_1$ и катета $HB_1$.

1. Длина $AB_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABB_1$ (он прямоугольный, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию $ABCDEF$, а значит и прямой $AB$). По теореме Пифагора:

$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

2. Длина $HB_1$. Длина перпендикуляра $HB_1$ — это расстояние от точки $B_1$ до плоскости $(AFF_1)$. Так как призма прямая, это расстояние равно расстоянию от точки $B$ до прямой $AF$ в плоскости основания.

Рассмотрим основание $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OFA$ — равносторонние со стороной 1. Тогда $\angle OAB = 60^\circ$ и $\angle OAF = 60^\circ$. Следовательно, угол шестиугольника $\angle FAB = \angle OAB + \angle OAF = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ можно найти как высоту в треугольнике $\triangle ABF$, опущенную из вершины $B$. Или, что проще, зная угол между сторонами $AB$ и $AF$: расстояние от $B$ до прямой $AF$ равно $AB \cdot \sin(\angle BAF')$, где $\angle BAF'$ - острый угол между прямой $AB$ и прямой $AF$. Угол между прямыми равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Расстояние $d(B, AF) = AB \cdot \sin(180^\circ - 120^\circ) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Таким образом, $HB_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Теперь можем найти синус искомого угла $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{HB_1}{AB_1} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Следовательно, искомый угол $\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.