Номер 10, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $AB$ и плоскостью $CB_1D_1$.

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб.

Найти:

Синус угла между прямой AB₁ и плоскостью CB₁D₁.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D. Направим оси Ox, Oy, Oz вдоль ребер DA, DC, DD₁ соответственно. Пусть ребро куба равно $a$.

В этой системе координат вершины, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты: A$(a, 0, 0)$, B₁$(a, a, a)$, C$(0, a, 0)$, D₁$(0, 0, a)$.

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Синус этого угла можно найти, используя угол $\beta$ между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости, по формуле: $\sin \alpha = |\cos \beta|$.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{s}$ прямой AB₁:$\vec{s} = \vec{AB_1} = (a-a; a-0; a-0) = (0, a, a)$.

2. Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости CB₁D₁. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости. Найдем векторы $\vec{CB_1}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{CB_1} = (a-0; a-a; a-0) = (a, 0, a)$.

$\vec{CD_1} = (0-0; 0-a; a-0) = (0, -a, a)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{CB_1}$ и $\vec{CD_1}$. Если $\vec{u}=(u_x, u_y, u_z)$ и $\vec{v}=(v_x, v_y, v_z)$, то их векторное произведение $\vec{w}=\vec{u} \times \vec{v}$ имеет координаты $(u_y v_z - u_z v_y, u_z v_x - u_x v_z, u_x v_y - u_y v_x)$.

Для наших векторов:$n_x = 0 \cdot a - a \cdot (-a) = a^2$$n_y = a \cdot 0 - a \cdot a = -a^2$$n_z = a \cdot (-a) - 0 \cdot 0 = -a^2$Таким образом, $\vec{n} = (a^2, -a^2, -a^2)$. Для удобства расчетов можно использовать коллинеарный ему вектор, разделив все координаты на $a^2$ (так как $a \ne 0$): $\vec{n} = (1, -1, -1)$.

3. Теперь найдем синус угла $\alpha$ между прямой AB₁ и плоскостью CB₁D₁ по формуле:

$\sin \alpha = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 1 + a \cdot (-1) + a \cdot (-1) = -2a$.

Найдем модули (длины) векторов:

$|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в формулу:

$\sin \alpha = \frac{|-2a|}{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2a}{a\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.