Номер 11, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $BD$.

Найдите синус угла между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$.

Дано:
ABCD – правильный тетраэдр.
E – середина ребра BD.

Найти:
Синус угла между прямой AE и плоскостью ABC.

Решение:
Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол как $\alpha$.

Пусть ребро правильного тетраэдра равно $a$. Все грани тетраэдра являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Для нахождения угла $\alpha$ необходимо:
1. Найти проекцию прямой AE на плоскость ABC. Для этого опустим перпендикуляр EH из точки E на плоскость ABC. Точка H будет проекцией точки E на плоскость ABC. Так как точка A уже лежит в этой плоскости, она является своей собственной проекцией. Таким образом, прямая AH является проекцией прямой AE на плоскость ABC, а искомый угол $\alpha$ – это угол EAH.
2. В прямоугольном треугольнике AEH (где $\angle AHE = 90^\circ$) синус угла $\alpha$ определяется как отношение противолежащего катета EH к гипотенузе AE:
$\sin(\alpha) = \sin(\angle EAH) = \frac{EH}{AE}$

Вычислим длины отрезков AE и EH.

Найдём длину AE:
Рассмотрим грань ABD. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. AE является медианой, проведённой к стороне BD. В равностороннем треугольнике медиана также является и высотой. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$AE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Найдём длину EH:
EH – это длина перпендикуляра, опущенного из точки E на плоскость ABC, то есть расстояние от точки E до плоскости ABC.
Пусть O – центр основания ABC (точка пересечения медиан). DO – высота тетраэдра, перпендикулярная плоскости ABC.
Рассмотрим плоскость BDO. Точка E, как середина BD, лежит в этой плоскости. Проекция E на плоскость ABC, точка H, будет лежать на отрезке BO.
Треугольники $\triangle BHE$ и $\triangle BOD$ подобны по двум углам (общий угол при вершине B и прямые углы $\angle BHE = \angle BOD = 90^\circ$).
По условию E – середина BD, значит, $\frac{BE}{BD} = \frac{1}{2}$.
Из подобия треугольников следует:
$\frac{EH}{DO} = \frac{BE}{BD} = \frac{1}{2}$, откуда $EH = \frac{1}{2} DO$.

Теперь найдём высоту тетраэдра DO. В равностороннем треугольнике ABC расстояние от вершины до центра (радиус описанной окружности) равно $AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO ($\angle AOD = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$DO^2 = AD^2 - AO^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$
$DO = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Следовательно, длина EH равна:
$EH = \frac{1}{2} DO = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

Вычислим синус угла $\alpha$:
Подставим найденные значения AE и EH в формулу для синуса:
$\sin(\alpha) = \frac{EH}{AE} = \frac{\frac{a\sqrt{6}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}$
Упростим выражение:
$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$.