Номер 14, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите синус угла между прямой $BC$ и плоскостью $SAF$.

Дано:

$SABCDEF$ – правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания $a = 1$ см
Боковое ребро $l = 2$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м
$l = 0.02$ м

Найти:

Синус угла между прямой $BC$ и плоскостью $SAF$.

Решение:

Пусть $\alpha$ – искомый угол между прямой $BC$ и плоскостью $SAF$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона $BC$ параллельна большой диагонали $AD$. Следовательно, угол между прямой $BC$ и плоскостью $SAF$ равен углу между прямой $AD$ и той же плоскостью $SAF$.

Угол между прямой $AD$ и плоскостью $SAF$ — это угол между прямой $AD$ и её проекцией на эту плоскость. Прямая $AD$ пересекает плоскость $SAF$ в точке $A$. Синус угла $\alpha$ равен отношению расстояния от точки $D$ до плоскости $SAF$ к длине отрезка $AD$. Обозначим это расстояние как $DH$, где $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на плоскость $SAF$. Таким образом: $sin(\alpha) = \frac{DH}{AD}$

Длина большой диагонали $AD$ правильного шестиугольника со стороной $a=1$ равна $2a$. $AD = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Для нахождения расстояния $DH$ воспользуемся методом объемов для тетраэдра $SADF$. Объем этого тетраэдра можно выразить двумя способами: $V_{SADF} = \frac{1}{3} S_{SAF} \cdot DH$ $V_{SADF} = \frac{1}{3} S_{ADF} \cdot SO$, где $SO$ – высота пирамиды. Приравнивая правые части, получаем $S_{SAF} \cdot DH = S_{ADF} \cdot SO$, откуда $DH = \frac{S_{ADF} \cdot SO}{S_{SAF}}$.

Вычислим необходимые величины. Так как синус угла является безразмерной величиной, для удобства будем использовать исходные значения в сантиметрах.

1. Найдем высоту пирамиды $SO$. Пусть $O$ — центр основания. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне, т.е. $OA = a = 1$ см. Треугольник $SOA$ является прямоугольным, так как $SO$ — высота пирамиды. По теореме Пифагора: $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

2. Найдем площадь треугольника $ADF$, который лежит в плоскости основания. Его стороны: $AF = a = 1$ см, $AD = 2a = 2$ см. Найдем длину стороны $DF$, которая является малой диагональю шестиугольника. В треугольнике $DEF$ угол $\angle DEF = 120^\circ$. По теореме косинусов: $DF^2 = DE^2 + EF^2 - 2 \cdot DE \cdot EF \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$. Отсюда $DF = \sqrt{3}$ см. В треугольнике $ADF$ со сторонами $1$, $\sqrt{3}$ и $2$ выполняется равенство $1^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$, т.е. $AF^2 + DF^2 = AD^2$. Это означает, что треугольник $ADF$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $F$. Его площадь: $S_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot DF = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

3. Найдем площадь боковой грани $SAF$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $SA = SF = 2$ см и основанием $AF = 1$ см. Проведем в нем высоту $SM$ к основанию $AF$. В прямоугольном треугольнике $SAM$: $SM = \sqrt{SA^2 - AM^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см. Площадь треугольника $SAF$: $S_{SAF} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ см$^2$.

4. Теперь можем найти расстояние $DH$: $DH = \frac{S_{ADF} \cdot SO}{S_{SAF}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{15}}$ см.

5. Наконец, вычисляем синус искомого угла $\alpha$: $\sin(\alpha) = \frac{DH}{AD} = \frac{6/\sqrt{15}}{2} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$.