Номер 3, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между плоскостями $ACC_1$ и $BCC_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер равна 1 см.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Угол между плоскостями $(ACC_1)$ и $(BCC_1)$.

Решение:

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это величина двугранного угла, образованного этими плоскостями. Он измеряется величиной его линейного угла.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ACC_1)$ и $(BCC_1)$. Обе плоскости содержат боковое ребро $CC_1$, следовательно, $CC_1$ является линией их пересечения.

2. Построим линейный угол двугранного угла. Для этого в каждой из плоскостей проведем перпендикуляр к линии их пересечения $CC_1$ через одну и ту же точку на этой прямой. В качестве такой точки удобно выбрать точку $C$.

3. Призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная. Это означает, что ее основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

4. Так как $CC_1 \perp \text{пл.}(ABC)$, то ребро $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $C$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $(ACC_1)$ и в плоскости основания $(ABC)$. Значит, $AC \perp CC_1$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(BCC_1)$ и в плоскости основания $(ABC)$. Значит, $BC \perp CC_1$.

5. Мы построили две прямые, $AC$ и $BC$, перпендикулярные к линии пересечения плоскостей $CC_1$ в одной точке $C$. Угол между этими прямыми, то есть угол $\angle ACB$, является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ACC_1)$ и $(BCC_1)$.

6. Найдем величину угла $\angle ACB$. Этот угол является углом в основании призмы — треугольнике $ABC$. Так как призма правильная, то треугольник $ABC$ — равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.

Следовательно, искомый угол между плоскостями $(ACC_1)$ и $(BCC_1)$ равен $\angle ACB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.