Номер 6, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между плоскостями $ABB_1$ и $CDD_1$.

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.
Длина всех ребер равна 1 см.

Поскольку все размеры даны в сантиметрах, а для нахождения угла единицы измерения не важны, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между плоскостями $(ABB_1)$ и $(CDD_1)$.

Решение:

По определению, правильная шестиугольная призма имеет в основаниях два правильных шестиугольника ($ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$), а ее боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и т.д.) — это прямоугольники, перпендикулярные плоскостям оснований.

Плоскости $(ABB_1)$ и $(CDD_1)$, содержащие боковые грани, перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$. Угол между двумя такими плоскостями равен углу, образованному их линиями пересечения с плоскостью основания.

Линией пересечения плоскости $(ABB_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$ является прямая $AB$.
Линией пересечения плоскости $(CDD_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$ является прямая $CD$.

Следовательно, задача сводится к нахождению угла между прямыми $AB$ и $CD$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Внутренний угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле $\frac{180^\circ(n-2)}{n}$, где $n=6$.
$\angle ABC = \angle BCD = \frac{180^\circ(6-2)}{6} = \frac{180^\circ \cdot 4}{6} = 120^\circ$.

Прямые $AB$ и $CD$ не являются параллельными. Для нахождения угла между ними, продлим содержащие их отрезки до пересечения в некоторой точке $G$. Таким образом, мы получим треугольник $BCG$.

Угол $\angle CBG$ является смежным с внутренним углом шестиугольника $\angle ABC$. Следовательно:
$\angle CBG = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Аналогично, угол $\angle BCG$ является смежным с внутренним углом $\angle BCD$:
$\angle BCG = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Зная два угла треугольника $BCG$, найдем третий угол $\angle BGC$, который и является углом пересечения прямых $AB$ и $CD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle BGC = 180^\circ - (\angle CBG + \angle BCG) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен $60^\circ$, а значит, и угол между плоскостями $(ABB_1)$ и $(CDD_1)$ также равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.