Номер 12, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите косинус угла между плоскостями $SAD$ и $SBC$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Ребро $a = 1$ см (все ребра равны)

Найти:

$\cos \alpha$ — косинус угла между плоскостями (SAD) и (SBC).

Решение:

Поскольку пирамида SABCD является правильной четырехугольной, ее основание ABCD — квадрат. В условии сказано, что все ребра пирамиды равны 1 см. Это означает, что и стороны основания (AB, BC, CD, DA), и боковые ребра (SA, SB, SC, SD) равны 1 см.

Из этого следует, что боковые грани пирамиды (SAB, SBC, SCD, SAD) являются равносторонними треугольниками со стороной 1 см.

Угол между двумя плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Чтобы его построить, нужно найти линию пересечения плоскостей и провести к ней перпендикуляры в каждой из плоскостей из одной точки.

Плоскости (SAD) и (SBC) проходят через параллельные прямые AD и BC (так как ABCD — квадрат). Следовательно, линия пересечения этих плоскостей будет проходить через их общую точку S и будет параллельна прямым AD и BC.

Проведем апофемы в гранях SAD и SBC из вершины S. Пусть K — середина ребра AD, а L — середина ребра BC.

В равностороннем треугольнике SAD отрезок SK является медианой, а следовательно, и высотой. Таким образом, $SK \perp AD$. Поскольку линия пересечения плоскостей параллельна AD, то $SK$ перпендикулярен и линии пересечения.

Аналогично, в равностороннем треугольнике SBC отрезок SL является медианой и высотой, то есть $SL \perp BC$. Следовательно, $SL$ также перпендикулярен линии пересечения.

Значит, искомый угол $\alpha$ между плоскостями (SAD) и (SBC) равен углу $\angle KSL$ между апофемами SK и SL.

Рассмотрим треугольник KSL. Найдем длины его сторон:

1. SK и SL — это высоты равносторонних треугольников со стороной $a=1$ см. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$SK = SL = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

2. KL — это отрезок, соединяющий середины противоположных сторон квадрата ABCD. Его длина равна стороне квадрата.
$KL = AB = 1$ см.

Теперь мы имеем равнобедренный треугольник KSL со сторонами $SK = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см, $SL = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см и $KL = 1$ см. Чтобы найти косинус угла $\angle KSL$, воспользуемся теоремой косинусов:

$KL^2 = SK^2 + SL^2 - 2 \cdot SK \cdot SL \cdot \cos(\angle KSL)$

Подставим известные значения:

$1^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle KSL)$

$1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\angle KSL)$

$1 = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} \cdot \cos(\angle KSL)$

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle KSL)$

Перенесем слагаемые:

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle KSL) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle KSL) = \frac{1}{2}$

$\cos(\angle KSL) = \frac{1}{2} \div \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.