Номер 3, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Все ребра равны 1 см, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$ см.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC_1$.

Решение:

Искомое расстояние от точки $A$ до прямой $BC_1$ является длиной высоты $AH$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC_1$ в треугольнике $ABC_1$.

Для нахождения этой высоты, сначала определим длины сторон треугольника $ABC_1$.

1. Сторона $AB$ — это ребро основания призмы, по условию ее длина $AB = 1$ см.

2. Сторона $BC_1$ — это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$. Так как призма правильная, ее боковые грани — прямоугольники. Поскольку все ребра равны 1 см, грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1 см. Длину диагонали $BC_1$ найдем по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:

$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

3. Сторона $AC_1$ — это диагональ боковой грани $ACC_1A_1$, которая также является квадратом со стороной 1 см. Аналогично находим ее длину:

$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Таким образом, треугольник $ABC_1$ является равнобедренным, так как $AC_1 = BC_1 = \sqrt{2}$ см, а его основание $AB = 1$ см.

Найдем площадь треугольника $ABC_1$ двумя способами.

Способ 1: Через высоту к основанию $AB$.

Проведем в треугольнике $ABC_1$ высоту $C_1M$ к стороне $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой, поэтому точка $M$ — середина $AB$.

Чтобы найти длину $C_1M$, рассмотрим прямоугольный треугольник $C_1CM$. Он прямоугольный, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ (по свойству правильной призмы), а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CM$.

Отрезок $CM$ является высотой (а также медианой и биссектрисой) в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a = 1$ см. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $C_1CM$ найдем гипотенузу $C_1M$:

$C_1M^2 = CC_1^2 + CM^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

$C_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC_1$:

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

Способ 2: Через искомую высоту $AH$.

Площадь того же треугольника можно выразить через сторону $BC_1$ и высоту $AH$, опущенную на эту сторону.

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot BC_1 \cdot AH$.

Приравняем выражения для площади, полученные двумя способами:

$\frac{1}{2} \cdot BC_1 \cdot AH = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Подставим известную длину $BC_1 = \sqrt{2}$ и решим уравнение относительно $AH$:

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot AH = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

$AH = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$AH = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ см.

Ответ: Расстояние от точки A до прямой $BC_1$ равно $\frac{\sqrt{14}}{4}$ см.