Номер 5, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите угол между плоскостями $SAD$ и $SBE$.

Дано:

$SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида.
Сторона основания $a = 1$ см.
Боковое ребро $l = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м
$l = 0.02$ м

Найти:

Угол $\alpha$ между плоскостями $SAD$ и $SBE$.

Решение:

1. Найдем линию пересечения плоскостей $SAD$ и $SBE$.

Плоскость $SAD$ проходит через вершину пирамиды $S$ и диагональ основания $AD$. Плоскость $SBE$ проходит через вершину пирамиды $S$ и диагональ основания $BE$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника. Диагонали $AD$ и $BE$ являются большими диагоналями правильного шестиугольника и пересекаются в его центре $O$.

Таким образом, обе плоскости, $SAD$ и $SBE$, содержат точку $S$ и точку $O$. Следовательно, они пересекаются по прямой $SO$.

2. Найдем угол между плоскостями.

Угол между двумя плоскостями — это величина двугранного угла между ними. Он измеряется линейным углом, который образуется при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (линии пересечения плоскостей).

В нашем случае ребром является прямая $SO$. Так как пирамида $SABCDEF$ правильная, ее высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Это означает, что $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания.

Прямая $AD$ лежит в плоскости основания и в плоскости $SAD$. Следовательно, $AD \perp SO$. Прямая $BE$ лежит в плоскости основания и в плоскости $SBE$. Следовательно, $BE \perp SO$.

Так как прямые $AD$ и $BE$ перпендикулярны ребру $SO$ в точке $O$, угол между ними является линейным углом двугранного угла. Значит, искомый угол $\alpha$ между плоскостями $SAD$ и $SBE$ равен углу между прямыми $AD$ и $BE$.

3. Вычислим угол между прямыми $AD$ и $BE$.

Этот угол равен одному из углов, образованных пересечением диагоналей $AD$ и $BE$ в центре $O$ шестиугольника. Рассмотрим треугольник $AOB$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому $OA = OB = AB = a = 1$ см. Треугольник $AOB$ является равносторонним.

Следовательно, все его углы равны $60^\circ$. Угол $\angle AOB$ является одним из углов между пересекающимися диагоналями $AD$ и $BE$.

$\alpha = \angle AOB = 60^\circ$.

Обратим внимание, что для нахождения угла значения длин стороны основания и бокового ребра не потребовались.

Ответ: $60^\circ$.