Номер 1, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $ABC_1$ и $ABC$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC_1$ и $ABC$.

Решение:

Плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью нижнего основания куба $ABCD$.

Плоскости $ABC_1$ и $ABC$ пересекаются по прямой $AB$, так как обе плоскости содержат точки $A$ и $B$.

Угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла, который образован этими плоскостями. Для нахождения этого угла нужно в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к линии их пересечения ($AB$) из одной и той же точки.

1. В плоскости нижнего основания $ABC$ ребро $BC$ перпендикулярно ребру $AB$, так как $ABCD$ — квадрат. Следовательно, $BC \perp AB$.

2. В плоскости сечения $ABC_1$ нужно найти прямую, перпендикулярную $AB$. Ребро $AB$ перпендикулярно всей грани $BCC_1B_1$ (поскольку $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_1$). Это значит, что $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $BCC_1B_1$. Прямая $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$ и лежит в этой плоскости, следовательно, $BC_1 \perp AB$.

Таким образом, мы имеем два перпендикуляра к линии пересечения $AB$, проведенных из точки $B$: $BC$ в плоскости $ABC$ и $BC_1$ в плоскости $ABC_1$.

Искомый угол между плоскостями равен углу между этими перпендикулярами, то есть углу $\angle CBC_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CBC_1$.

Этот треугольник является прямоугольным, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и прямой $BC$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $\angle BCC_1 = 90^\circ$.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда катеты этого треугольника равны: $BC = a$ и $CC_1 = a$.

Так как катеты равны, $\triangle CBC_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны по $45^\circ$.

Следовательно, $\angle CBC_1 = 45^\circ$.

Также можно найти тангенс этого угла:

$tg(\angle CBC_1) = \frac{CC_1}{BC} = \frac{a}{a} = 1$

Отсюда следует, что $\angle CBC_1 = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.