Номер 4, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между плоскостями $SAC$ и $SBD$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.
Все ребра равны 1 см.

Перевод в систему СИ:
Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Угол между плоскостями $(SAC)$ и $(SBD)$.

Решение:

1. Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной, в ее основании лежит квадрат $ABCD$. Вершина пирамиды $S$ проецируется в центр этого квадрата — точку $O$, которая является точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Прямая $SO$ является высотой пирамиды.

2. Плоскости $(SAC)$ и $(SBD)$ являются диагональными сечениями пирамиды. Они пересекаются по прямой, содержащей общие точки этих плоскостей. Очевидно, что точка $S$ принадлежит обеим плоскостям. Точка $O$ также принадлежит обеим плоскостям, так как $O$ лежит и на диагонали $AC$ (которая лежит в плоскости $(SAC)$), и на диагонали $BD$ (которая лежит в плоскости $(SBD)$). Следовательно, линией пересечения плоскостей $(SAC)$ и $(SBD)$ является прямая $SO$.

3. Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно их линии пересечения в одной и той же точке.

В нашем случае линия пересечения — это высота пирамиды $SO$.Так как $SABCD$ — правильная пирамида, ее высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$. Это означает, что $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $O$.

Рассмотрим прямые $OC$ и $OD$.Прямая $OC$ является частью диагонали $AC$ и лежит в плоскости $(SAC)$. Так как $AC$ лежит в плоскости основания, то $SO \perp OC$.Прямая $OD$ является частью диагонали $BD$ и лежит в плоскости $(SBD)$. Так как $BD$ лежит в плоскости основания, то $SO \perp OD$.

Таким образом, мы имеем две прямые, $OC$ и $OD$, которые лежат в плоскостях $(SAC)$ и $(SBD)$ соответственно, и обе они перпендикулярны линии пересечения $SO$ в точке $O$. Следовательно, угол между плоскостями $(SAC)$ и $(SBD)$ равен углу между прямыми $OC$ и $OD$, то есть углу $\angle{COD}$.

4. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Значит, угол между ними равен $90^\circ$. Угол $\angle{COD}$ является одним из четырех углов, образованных при пересечении диагоналей, поэтому $\angle{COD} = 90^\circ$.

Стоит отметить, что длина ребер пирамиды (1 см) не влияет на величину искомого угла, так как он определяется только свойствами правильной четырехугольной пирамиды.

Ответ: $90^\circ$.