Номер 6, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите угол между прямой $SC$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

$SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида.
Сторона основания $a = 1$ см.
Боковое ребро $l = 2$ см.

Найти:

Угол между прямой $SC$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$, лежащего в основании пирамиды. Так как пирамида $SABCDEF$ является правильной, её вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Это означает, что отрезок $SO$ является высотой пирамиды и перпендикулярен плоскости основания, то есть $SO \perp (ABC)$.

Проекцией точки $S$ на плоскость $(ABC)$ является точка $O$. Проекцией точки $C$ на плоскость $(ABC)$ является сама точка $C$, так как она лежит в этой плоскости. Следовательно, проекцией наклонной $SC$ на плоскость $(ABC)$ является отрезок $OC$.

Искомый угол — это угол между прямой $SC$ и её проекцией $OC$, то есть угол $\angle SCO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOC$. Так как $SO$ — высота, то $SO \perp OC$. Следовательно, треугольник $\triangle SOC$ является прямоугольным, где $\angle SOC = 90^\circ$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине его стороны. Таким образом, длина отрезка $OC$ равна длине стороны основания.

$OC = BC = 1$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOC$ нам известны:
- гипотенуза $SC = 2$ см (по условию, это боковое ребро).
- катет $OC = 1$ см (прилежащий к искомому углу).

Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle SCO$:

$\cos(\angle SCO) = \frac{OC}{SC} = \frac{1}{2}$

Из этого соотношения находим величину угла:

$\angle SCO = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.