Номер 18, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Площадь поверхности шара равна 36 см². Найдите объем этого шара:

A) $24 \frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³;

B) $36 \frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³;

C) $48 \frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³;

D) $60 \frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³.

Дано:

Площадь поверхности шара $S = 36 \text{ см}^2$.

Перевод в систему СИ:

$S = 36 \text{ см}^2 = 36 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 36 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Объем шара $V$.

Решение:

Формула площади поверхности шара с радиусом $R$ имеет вид:

$S = 4\pi R^2$

Из этой формулы мы можем выразить радиус шара. Сначала найдем квадрат радиуса:

$R^2 = \frac{S}{4\pi}$

Подставим данное значение площади поверхности $S = 36 \text{ см}^2$ в формулу:

$R^2 = \frac{36}{4\pi} = \frac{9}{\pi} \text{ см}^2$

Теперь найдем сам радиус $R$, извлекая квадратный корень:

$R = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \text{ см}$

Далее, для нахождения объема шара $V$ воспользуемся соответствующей формулой:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим в эту формулу найденное значение радиуса $R$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^3$

Выполним вычисления:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3^3}{(\sqrt{\pi})^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{\pi\sqrt{\pi}}$

Сократим общие множители $\pi$ в числителе и знаменателе, а также числа 3 и 27:

$V = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot \sqrt{\pi}} = \frac{4 \cdot 9}{\sqrt{\pi}} = \frac{36}{\sqrt{\pi}} \text{ см}^3$

Чтобы привести полученный ответ к виду, предложенному в вариантах, необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{\pi}$:

$V = \frac{36}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = \frac{36\sqrt{\pi}}{\pi} \text{ см}^3$

Этот результат соответствует варианту B).

Ответ: B) $36\frac{\sqrt{\pi}}{\pi} \text{ см}^3$.