Номер 28.25, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.25. Найдите объем шарового пояса, если радиусы его оснований равны 3 см и 4 см, а радиус шара — 5 см.

Дано:

Радиус первого основания шарового пояса, $r_1 = 3$ см
Радиус второго основания шарового пояса, $r_2 = 4$ см
Радиус шара, $R = 5$ см

Переведем данные в систему СИ:
$r_1 = 0.03$ м
$r_2 = 0.04$ м
$R = 0.05$ м

Найти:

Объем шарового пояса, $V$.

Решение:

Объем шарового пояса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$
где $h$ — высота шарового пояса, $r_1$ и $r_2$ — радиусы его оснований.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим осевое сечение шара. В сечении мы получим круг радиуса $R$, а основания шарового пояса будут представлены хордами. Найдем расстояния от центра шара до плоскостей оснований ($d_1$ и $d_2$) по теореме Пифагора:

$d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

$d_2 = \sqrt{R^2 - r_2^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

В условии задачи не указано, как расположены основания шарового пояса относительно центра шара. Поэтому возможны два случая.

Случай 1: Основания расположены по одну сторону от центра шара.
В этом случае высота шарового пояса равна разности расстояний от центра до плоскостей оснований:
$h = |d_1 - d_2| = |4 - 3| = 1$ см.
Подставим значения в формулу для объема:
$V_1 = \frac{1}{6}\pi \cdot 1 \cdot (3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 4^2 + 1^2) = \frac{\pi}{6}(3 \cdot 9 + 3 \cdot 16 + 1) = \frac{\pi}{6}(27 + 48 + 1) = \frac{76\pi}{6} = \frac{38\pi}{3}$ см$^3$.

Случай 2: Основания расположены по разные стороны от центра шара.
В этом случае высота шарового пояса равна сумме расстояний от центра до плоскостей оснований:
$h = d_1 + d_2 = 4 + 3 = 7$ см.
Подставим значения в формулу для объема:
$V_2 = \frac{1}{6}\pi \cdot 7 \cdot (3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 4^2 + 7^2) = \frac{7\pi}{6}(3 \cdot 9 + 3 \cdot 16 + 49) = \frac{7\pi}{6}(27 + 48 + 49) = \frac{7\pi}{6}(124) = \frac{868\pi}{6} = \frac{434\pi}{3}$ см$^3$.

Так как в условии нет уточнений о расположении оснований, задача имеет два возможных решения.

Ответ:объем шарового пояса равен $\frac{38\pi}{3}$ см$^3$, если основания лежат по одну сторону от центра шара, или $\frac{434\pi}{3}$ см$^3$, если основания лежат по разные стороны от центра шара.