Номер 28.23, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.23. Через середину радиуса шара проведена плоскость, перпендикулярная этому радиусу (рис. 28.16). Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, отсекаемого от шара этой плоскостью?

Рис. 28.16

Дано:

Шар радиуса $R$.

Плоскость, проходящая через середину радиуса и перпендикулярная ему.

Найти:

Отношение объема шарового сегмента, отсекаемого плоскостью, к объему всего шара: $\frac{V_{сегмента}}{V_{шара}}$

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

$V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Согласно условию задачи, плоскость проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему. Пусть радиус шара, которому перпендикулярна плоскость, это $OS = R$ (как показано на рисунке 28.16). Точка $Q$ — середина радиуса $OS$.

Расстояние от центра шара $O$ до секущей плоскости равно $OQ = \frac{R}{2}$.

Высота $h$ меньшего шарового сегмента (с вершиной в точке $S$) равна разности между радиусом $R$ и расстоянием от центра до плоскости $OQ$.

$h = OS - OQ = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

Теперь подставим значение высоты $h$ в формулу для объема шарового сегмента:

$V_{сегмента} = \pi (\frac{R}{2})^2 (R - \frac{1}{3} \cdot \frac{R}{2}) = \pi \frac{R^2}{4} (R - \frac{R}{6})$

Выполним вычитание в скобках:

$R - \frac{R}{6} = \frac{6R - R}{6} = \frac{5R}{6}$

Подставим обратно в формулу объема сегмента:

$V_{сегмента} = \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{5R}{6} = \frac{5\pi R^3}{24}$

Теперь найдем, какую часть объем сегмента составляет от объема всего шара. Для этого разделим объем сегмента на объем шара:

$\frac{V_{сегмента}}{V_{шара}} = \frac{\frac{5\pi R^3}{24}}{\frac{4\pi R^3}{3}}$

Сократим $\pi R^3$ и выполним деление дробей:

$\frac{V_{сегмента}}{V_{шара}} = \frac{5}{24} \div \frac{4}{3} = \frac{5}{24} \cdot \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 3}{24 \cdot 4} = \frac{15}{96}$

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 3:

$\frac{15 \div 3}{96 \div 3} = \frac{5}{32}$

Таким образом, объем шарового сегмента составляет $\frac{5}{32}$ от объема всего шара.

Ответ: $\frac{5}{32}$