Номер 25.22, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.22. Докажите, что любая плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра, делит его на две равновеликие части.

Рассмотрим цилиндр. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры его оснований. Отрезок, соединяющий центры оснований, $O_1O_2$, является осью цилиндра. Пусть точка $M$ — середина отрезка $O_1O_2$. Докажем, что точка $M$ является центром симметрии цилиндра.

Для доказательства введем декартову систему координат. Поместим начало координат, точку $O(0,0,0)$, в точку $M$. Направим ось $Oz$ вдоль оси цилиндра $O_1O_2$. Пусть высота цилиндра равна $h$, а радиус его основания — $R$. В этой системе координат центры оснований будут иметь координаты $O_1(0, 0, -h/2)$ и $O_2(0, 0, h/2)$. Любая точка $P(x, y, z)$, принадлежащая цилиндру, должна удовлетворять системе неравенств:
$x^2 + y^2 \le R^2$
$-h/2 \le z \le h/2$

Рассмотрим преобразование центральной симметрии относительно начала координат (точки $M$). Это преобразование отображает любую точку $P(x, y, z)$ в точку $P'(-x, -y, -z)$. Проверим, принадлежит ли точка $P'$ цилиндру, если точка $P$ ему принадлежит. Для координат точки $P'$ имеем:
1. $(-x)^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2 \le R^2$. Первое условие выполняется.
2. Из второго условия для точки $P$, $-h/2 \le z \le h/2$, следует, что $h/2 \ge -z \ge -h/2$, что равносильно $-h/2 \le -z \le h/2$. Второе условие для точки $P'$ также выполняется.

Поскольку для любой точки $P$, принадлежащей цилиндру, симметричная ей точка $P'$ также принадлежит цилиндру, то цилиндр является телом, симметричным относительно точки $M$.

Пусть $\alpha$ — произвольная плоскость, проходящая через точку $M$ (центр симметрии цилиндра). Эта плоскость делит цилиндр на две части, назовем их $T_1$ и $T_2$. Плоскость $\alpha$ также делит все пространство на два полупространства, $H_1$ и $H_2$. Таким образом, $T_1$ есть пересечение цилиндра и полупространства $H_1$, а $T_2$ — пересечение цилиндра и полупространства $H_2$.

Преобразование центральной симметрии $S_M$ относительно точки $M$ отображает сам цилиндр на себя. Так как плоскость $\alpha$ проходит через центр симметрии $M$, это преобразование также отображает одно полупространство на другое: $S_M(H_1) = H_2$.

Следовательно, преобразование $S_M$ отображает часть $T_1$ на часть $T_2$. То есть, $T_2$ является образом $T_1$ при центральной симметрии.

Центральная симметрия является движением (изометрией) в пространстве, а любое движение сохраняет объем. Отсюда следует, что объемы частей $T_1$ и $T_2$ равны: $V(T_1) = V(T_2)$.

Таким образом, любая плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра, делит его на две равновеликие (равные по объему) части, что и требовалось доказать.

Доказано. Середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра, является его центром симметрии. Любая плоскость, проходящая через центр симметрии тела, делит его на две части, которые симметричны друг другу относительно этого центра. Так как центральная симметрия является движением, она сохраняет объем. Следовательно, эти две части имеют равные объемы, то есть являются равновеликими.