Номер 25.25, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.25. Найдите объем детали, изображенной на рисунке 25.7, составленной из двух равных частей цилиндров. (Примите $\pi \approx 3$).

Рис. 25.7

Дано:

Деталь в форме согнутого под прямым углом цилиндра.
Длина прямого участка, $h_{пр} = 10 \text{ см}$.
Общая габаритная длина/высота, $L_{общ} = 20 \text{ см}$.
Принять $\pi \approx 3$.

Перевод данных в систему СИ:
$h_{пр} = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$.
$L_{общ} = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$.

Найти:

Объем детали, $V$.

Решение:

Объем данной детали можно вычислить, используя принцип Кавальери или, что эквивалентно для тел вращения и подобных им, вторую теорему Паппа — Гюльдена. Согласно этой теореме, объем тела равен произведению площади его поперечного сечения на длину пути, который проходит центр тяжести этого сечения.

1. Определим геометрические параметры детали.

Поперечное сечение детали представляет собой круг. Найдем его радиус $r$. Из рисунка видно, что общая длина детали равна 20 см, а длина прямого участка — 10 см. Разница этих величин соответствует радиусу цилиндра:

$r = L_{общ} - h_{пр} = 20 \text{ см} - 10 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

2. Найдем площадь поперечного сечения $S$.

Площадь круга с радиусом $r = 10$ см вычисляется по формуле:

$S = \pi r^2 = \pi \cdot (10)^2 = 100\pi \text{ см}^2$.

3. Найдем длину осевой линии $L_{ось}$.

Осевая линия детали состоит из двух прямых участков длиной $h_{пр} = 10 \text{ см}$ каждый и соединяющей их дуги. Эта дуга является четвертью окружности. Радиус этой окружности (радиус изгиба $R_{изг}$) равен расстоянию от внутреннего угла до осевой линии, что также составляет 10 см ($R_{изг} = r = 10 \text{ см}$).

Длина дуги $L_{дуги}$ вычисляется как четверть длины окружности с радиусом $R_{изг}$:

$L_{дуги} = \frac{1}{4} \cdot (2\pi R_{изг}) = \frac{1}{2}\pi R_{изг} = \frac{1}{2}\pi \cdot 10 = 5\pi \text{ см}$.

Полная длина осевой линии равна сумме длин двух прямых участков и дуги:

$L_{ось} = h_{пр} + h_{пр} + L_{дуги} = 10 + 10 + 5\pi = (20 + 5\pi) \text{ см}$.

4. Вычислим объем детали $V$.

Объем детали равен произведению площади поперечного сечения $S$ на длину осевой линии $L_{ось}$:

$V = S \cdot L_{ось} = 100\pi \cdot (20 + 5\pi) = 2000\pi + 500\pi^2$.

5. Подставим заданное значение $\pi \approx 3$.

$V \approx 2000 \cdot 3 + 500 \cdot (3)^2 = 6000 + 500 \cdot 9 = 6000 + 4500 = 10500 \text{ см}^3$.

Ответ: $10500 \text{ см}^3$.